Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

Paso 4.1.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} - x$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

Paso 4.1.2.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Paso 4.1.2.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.3.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

Paso 4.3.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 5

Mueve $x^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.2

Multiplica $x^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.3

Factoriza el negativo.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

Paso 7.6

Resta $3$ de $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.7.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

Paso 7.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

Paso 7.7.2.2

Cancela el factor común.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

Paso 7.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

Paso 7.7.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

Paso 7.8

Reordena $x^{- \frac{3}{2}}$ y $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 10

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 12.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$