Cálculo Ejemplos

$\frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Paso 1

Escribe $\frac{\ln (x)}{x^{5}}$ como una función.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\ln (x)}{x^{5}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int \ln (x) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{5 \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 5} d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 5}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{4 x^{4}}) - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{x (4 x^{4})} d x$

Paso 6.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 (x^{1} x^{4})} d x$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{1 + 4}} d x$

Paso 6.5

Suma $1$ y $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - - \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + 1 \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Paso 8.2

Multiplica $\int \frac{1}{4 x^{5}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 10

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 10.1

Mueve $x^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Paso 10.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 10.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Paso 10.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Reescribe $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$ como $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{4}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{x^{4} \cdot 4}) + C$

Paso 12.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4 \cdot x^{4}}) + C$

Paso 12.2.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{4 (4 x^{4})} + C$

Paso 12.2.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{\ln (x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$