Cálculo Ejemplos

$\sqrt{4 x^{2} + 5}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{4 x^{2} + 5}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 5}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{4 x^{2} + 5} d x$

Paso 4

Sea $x = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2}$ es positiva.

$\int \sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}$ .

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Combina $\frac{\sqrt{5}}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\int \sqrt{4 {(\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{2})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{4 \frac{{(\sqrt{5} \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{5} \tan (t)$ .

$\int \sqrt{4 \frac{{\sqrt{5}}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 5.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{4 \frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{4 \frac{5^{1} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{4 \frac{5 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + {\sqrt{5}}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 5.1.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{1}} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.1.6.5

Evalúa el exponente.

$\int \sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.2

Factoriza $5$ de $5 \tan^{2} (t) + 5$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.2.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.2.3

Factoriza $5$ de $5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)$ .

$\int \sqrt{5 (\tan^{2} (t) + 1)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{5 \sec^{2} (t)} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.4

Reordena $5$ y $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\int \sec (t) \sqrt{5} \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t)}{2}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{2} (t) \sec (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Paso 5.2.2

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{\sqrt{5} (\sec^{1} (t) \sec^{2} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

Paso 5.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{\sqrt{5} {\sec (t)}^{1 + 2}}{2} \sqrt{5} d t$

Paso 5.2.4

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

Paso 5.2.5

Combina $\frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2}$ y $\sqrt{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{5} \sec^{3} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

Paso 5.2.6

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 5.2.7

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 5.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 5.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{{\sqrt{5}}^{2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 5.2.10

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 5.2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 5.2.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 5.2.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 5.2.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.10.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 5.2.10.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{5^{1} \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 5.2.10.5

Evalúa el exponente.

$\int \frac{5 \sec^{3} (t)}{2} d t$

Paso 6

Dado que $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{5}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

Paso 7

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{5}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 8

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (t)$ y $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Paso 9

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Paso 10

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 12.2

Reordena $\tan^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Paso 13

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Paso 14

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 14.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 14.3

Reordena $\sec (t)$ y $- 1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 15

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Paso 16

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 18

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 19

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Paso 20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Paso 21

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Paso 22

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 23

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 24

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 25

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 25.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 25.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 26

Al resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{5}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Paso 27

Multiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$\frac{5}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Paso 28

Simplifica.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 29

Simplifica.

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Paso 29.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 29.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{5}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 30

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{5}{4} (\sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31

Simplifica.

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Paso 31.1

Simplifica cada término.

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Paso 31.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{2 x}{\sqrt{5}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{2 x}{\sqrt{5}})$ . Por lo tanto, $\sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}}))$ es $\sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 31.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{{(2 x)}^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.2.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{2^{2} x^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{{\sqrt{5}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.4

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 31.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 31.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5^{1}}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{4} (\sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{5}{4} (\sqrt{\frac{5}{5} + \frac{4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{4} (\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.7

Reescribe $\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}}$ como $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.8

Las funciones tangente y arcotangente son inversas.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.9

Combinar.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} (2 x)}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.10

Simplifica el denominador.

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Paso 31.1.10.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.10.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{\sqrt{5}}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.11

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.11.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.11.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.11.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{4} (\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \cdot 2 x}{5} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.12

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{5 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \cdot \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.1

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.2

Multiplica $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.3.1

Multiplica $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{2 x \sqrt{5}}{5})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 x \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{{(2 x \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.4.2

Aplica la regla del producto a $2 x \sqrt{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{{(2 x)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.4.3

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{2^{2} x^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.5.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 31.1.13.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5^{1}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.5.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2} \cdot 5}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.5.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{20 x^{2}}{5^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.6

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{20 x^{2}}{25}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.7

Cancela el factor común de $20$ y $25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.7.1

Factoriza $5$ de $20 x^{2}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{25}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.7.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{5 (5)}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{5 (4 x^{2})}{5 \cdot 5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.8

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{\frac{5}{5} + \frac{4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.10

Reescribe $\sqrt{\frac{5 + 4 x^{2}}{5}}$ como $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.11

Multiplica $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.12.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.12.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.12.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5^{1}} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.12.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} \sqrt{5}}{5} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.13

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \tan (\arctan (\frac{2 x}{\sqrt{5}})) |)) + C$

Paso 31.1.13.14

Las funciones tangente y arcotangente son inversas.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x}{\sqrt{5}} |)) + C$

Paso 31.1.13.15

Multiplica $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 31.1.13.16.1

Multiplica $\frac{2 x}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.16.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.13.16.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5^{1}} |)) + C$

Paso 31.1.13.16.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5}}{5} + \frac{2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

Paso 31.1.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5} + 2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

Paso 31.1.15

Reordena los factores en $\sqrt{(5 + 4 x^{2}) \cdot 5} + 2 x \sqrt{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (| \frac{\sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5}}{5} |)) + C$

Paso 31.1.16

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Paso 31.2

Para escribir $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot \frac{5}{5}) + C$

Paso 31.3

Combina $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{5} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot 5}{5}) + C$

Paso 31.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) \cdot 5}{5} + C$

Paso 31.5

Mueve $5$ a la izquierda de $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{5} + C$

Paso 31.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 31.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{5} + C$

Paso 31.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Paso 31.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Paso 31.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 31.8.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Paso 31.8.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Paso 31.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Paso 31.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\sqrt{5 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Paso 31.9

Combina $\sqrt{5 + 4 x^{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Paso 31.10

Combina $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})) + C$

Paso 31.11

Multiplica $\frac{1}{4} (5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}))$ .

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Paso 31.11.1

Combina $5$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{5}{4} \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5}) + C$

Paso 31.11.2

Combina $\frac{5}{4}$ y $\ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Paso 31.12

Para escribir $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Paso 31.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 31.13.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Paso 31.13.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Paso 31.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{5 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Paso 31.15

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{5 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{| \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |}{5})}{4} + C$

Paso 32

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{1}{5} | \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |)) + C$

Paso 33

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 5}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{5 + 4 x^{2}} x + 5 \ln (\frac{1}{5} | \sqrt{5 (5 + 4 x^{2})} + 2 x \sqrt{5} |)) + C$