Cálculo Ejemplos

$\sin (\ln (x))$

Paso 1

Escribe $\sin (\ln (x))$ como una función.

$f (x) = \sin (\ln (x))$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (\ln (x)) d x$

Paso 4

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

Paso 5

Reordena $e^{u}$ y $\sin (u)$ .

$\int \sin (u) e^{u} d u$

Paso 6

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = \sin (u)$ y $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Paso 7

Reordena $e^{u}$ y $\cos (u)$ .

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

Paso 8

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = \cos (u)$ y $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Paso 10

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Paso 10.2

Multiplica $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ por $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Paso 11

Al resolver $\int e^{u} \sin (u) d u$ , obtenemos que $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

Paso 12

Reescribe $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Paso 14.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Paso 14.4

Multiplica $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

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Paso 14.4.1

Combina $\sin (\ln (x))$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Paso 14.4.2

Combina $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ y $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Paso 14.5

Multiplica $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

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Paso 14.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

Paso 14.5.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Paso 14.6

Reordena los factores en $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Paso 15

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin (\ln (x))$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$