Cálculo Ejemplos

$\sec^{3} (θ)$

Paso 1

Escribe $\sec^{3} (θ)$ como una función.

$f (θ) = \sec^{3} (θ)$

Paso 2

La función $F (θ)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (θ) = \int \sec^{3} (θ) d θ$

Paso 4

Factoriza $\sec (θ)$ de $\sec^{3} (θ)$ .

$\int \sec (θ) \sec^{2} (θ) d θ$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (θ)$ y $d v = \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

Paso 6

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) d θ$

Paso 7

Eleva $\tan (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Paso 9.2

Reordena $\tan^{2} (θ)$ y $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \tan^{2} (θ) d θ$

Paso 10

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (θ)$ como $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec^{2} (θ)) d θ$

Paso 11

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 11.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \cdot - 1 + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Paso 11.3

Reordena $\sec (θ)$ y $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \cdot \sec (θ) + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

Paso 12

Eleva $\sec (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec (θ) \sec (θ) d θ$

Paso 13

Eleva $\sec (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

Paso 14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

Paso 15

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

Paso 16

Eleva $\sec (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) d θ$

Paso 17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{2 + 1} d θ$

Paso 18

Suma $2$ y $1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{3} (θ) d θ$

Paso 19

Divide la única integral en varias integrales.

$\sec (θ) \tan (θ) - (\int - 1 \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Paso 20

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\sec (θ) \tan (θ) - (- \int \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Paso 21

La integral de $\sec (θ)$ con respecto a $θ$ es $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)$ .

$\sec (θ) \tan (θ) - (- (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

Paso 22

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (θ) \tan (θ) - - (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Paso 22.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

Paso 23

Al resolver $\int \sec^{3} (θ) d θ$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (θ) d θ$ = $\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2} + C$

Paso 24

Multiplica $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C$ por $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C}{2} + C$

Paso 25

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$

Paso 26

La respuesta es la antiderivada de la función $f (θ) = \sec^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$