Cálculo Ejemplos

$\sin^{3} (2 x)$

Paso 1

Escribe $\sin^{3} (2 x)$ como una función.

$f (x) = \sin^{3} (2 x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{3} (2 x) d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 5

Combina $\sin^{3} (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Factoriza $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 8

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (u_{1})$ como $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9

Sea $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Paso 9.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cos^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{\cos^{3} (2 x)}{3}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Paso 15.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Paso 15.4

Combinar.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1 \cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Paso 15.5

Simplifica cada término.

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Paso 15.5.1

Multiplica $\cos^{3} (2 x)$ por $1$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Paso 15.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{6} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$