Cálculo Ejemplos

$6 \sqrt{y} d y$

Paso 1

Escribe $6 \sqrt{y} d y$ como una función.

$f (y) = 6 \sqrt{y} d y$

Paso 2

La función $F (y)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (y)$ .

$F (y) = \int f (y) d y$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (y) = \int 6 \sqrt{y} d y d y$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 6 y^{\frac{1}{2}} d y d y$

Paso 4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int 6 d (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) d y$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 6 d y^{\frac{1}{2} + 1} d y$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int 6 d y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d y$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 6 d y^{\frac{1 + 2}{2}} d y$

Paso 4.6

Suma $1$ y $2$ .

$\int 6 d y^{\frac{3}{2}} d y$

Paso 5

Dado que $6 d$ es constante con respecto a $y$ , mueve $6 d$ fuera de la integral.

$6 d \int y^{\frac{3}{2}} d y$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$6 d (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Reescribe $6 d (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ como $6 d \frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ .

$6 d \frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $6$ y $\frac{2}{5}$ .

$d \frac{6 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$d \frac{12}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.2.3

Combina $d$ y $\frac{12}{5}$ .

$\frac{d \cdot 12}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.2.4

Mueve $12$ a la izquierda de $d$ .

$\frac{12 \cdot d}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 7.2.5

Combina $\frac{12 d}{5}$ y $y^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{12 d y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

$\frac{12}{5} d y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (y) = 6 \sqrt{y} d y$ .

$F (y) =$ $\frac{12}{5} d y^{\frac{5}{2}} + C$