Cálculo Ejemplos

$π {(e^{- 2 x})}^{2}$

Paso 1

Escribe $π {(e^{- 2 x})}^{2}$ como una función.

$f (x) = π {(e^{- 2 x})}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int π {(e^{- 2 x})}^{2} d x$

Paso 4

Multiplica los exponentes en ${(e^{- 2 x})}^{2}$ .

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Paso 4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int π e^{- 2 x \cdot 2} d x$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\int π e^{- 4 x} d x$

Paso 5

Dado que $π$ es constante con respecto a $x$ , mueve $π$ fuera de la integral.

$π \int e^{- 4 x} d x$

Paso 6

Sea $u = - 4 x$ . Entonces $d u = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 6.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$π \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$π \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$π \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$π (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$π (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Paso 10

Combina $π$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{π}{4} \int e^{u} d u$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{π}{4} (e^{u} + C)$

Paso 12

Simplifica.

$- \frac{π}{4} e^{u} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 4 x$ .

$- \frac{π}{4} e^{- 4 x} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = π {(e^{- 2 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{π}{4} e^{- 4 x} + C$