Cálculo Ejemplos

$x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Paso 1

Escribe $x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ como una función.

$f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Paso 4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{1 + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Paso 4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{3 + 1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Paso 4.2.4

Suma $3$ y $1$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Paso 4.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 4.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

Paso 4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

Paso 4.4.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Paso 4.4.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 4.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 4.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

Paso 4.4.6.2

Suma $1$ y $6$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{4}{3}} d x + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{7}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + 3 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $3$ y $\frac{2}{9}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{6}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 9.2.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 (2)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 9.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 9.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 9.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$