Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - x^{7}}{3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x - x^{7}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Reordena $2 x$ y $- x^{7}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{7} + 2 x}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Paso 1.2.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal negativo es infinito negativo.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - x^{7}}{3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - x^{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{7}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{7}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - (7 x^{6})}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

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Paso 3.7.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{7}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.7.3

Multiplica $7$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Paso 3.8.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.8.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 3.9.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.9.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 + 0}$

Paso 3.11

Suma $21 x^{6} - 6 x^{2} + 4$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 7 x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x^{6}$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 7 x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.1.2

Divide $- 7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $x^{6}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.2.1.2

Divide $21$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{6}$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{- 6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 7 + \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 7 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 5.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 7 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{6}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 21 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $21$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 7.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Paso 9

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{6}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{- 7 + 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 11.1.2

Suma $- 7$ y $0$ .

$\frac{- 7}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 11.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0 + 0}$

Paso 11.2.3

Suma $21 + 0$ y $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0}$

Paso 11.2.4

Suma $21$ y $0$ .

$\frac{- 7}{21}$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $- 7$ y $21$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$\frac{7 (- 1)}{21}$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $7$ de $21$ .

$\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 3}$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 3}$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3}$

Paso 11.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3}$