Cálculo Ejemplos

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + 3 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 10 \cdot - 4 = - 40$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Reordena los términos.

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} - 4 b^{2} + 3 a b} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.1.1.1.2

Reordena $- 4 b^{2}$ y $3 a b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + 3 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $3 a b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + 3 (a b) - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.1.1.1.4

Reescribe $3$ como $- 5$ más $8$

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + (- 5 + 8) (a b) - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.1.1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} - 5 (a b) + 8 (a b) - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.1.1.1.6

Mueve los paréntesis.

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} - 5 a b + 8 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{10 a + 3 b}{(10 a^{2} - 5 a b) + 8 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{10 a + 3 b}{5 a (2 a - 1 b) + 4 b (2 a - b)} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 a - 1 b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - 1 b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $25 a^{2}$ como ${(5 a)}^{2}$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{{(5 a)}^{2} - 16 b^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe $16 b^{2}$ como ${(4 b)}^{2}$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{{(5 a)}^{2} - {(4 b)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5 a$ y $b = 4 b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - (4 b))}$

Paso 1.2.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b}$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} \cdot \frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 a - b}{2 a - b}$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} \cdot \frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} \cdot \frac{2 a - b}{2 a - b}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)}$ por $\frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b}$ .

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} \cdot \frac{2 a - b}{2 a - b}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$ por $\frac{2 a - b}{2 a - b}$ .

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} - \frac{(a + 2 b) (2 a - b)}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b) (2 a - b)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(5 a + 4 b) (5 a - 4 b) (2 a - b)$ .

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} - \frac{(a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 a (5 a - 4 b) + 3 b (5 a - 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 a (5 a) + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a - 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 a (5 a) + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{10 \cdot 5 a \cdot a + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.2.1

Mueve $a$ .

$\frac{10 \cdot 5 (a \cdot a) + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{10 \cdot 5 a^{2} + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $10$ por $5$ .

$\frac{50 a^{2} + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{50 a^{2} + 10 \cdot - 4 a b + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $10$ por $- 4$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 3 \cdot 5 b a + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 \cdot - 4 b \cdot b - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.9.1

Mueve $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 \cdot - 4 (b \cdot b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.9.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 \cdot - 4 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.1.10

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a - 12 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.2

Suma $- 40 a b$ y $15 b a$ .

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Paso 6.2.2.1

Mueve $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 a b - 12 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 40 a b$ y $15 a b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} + (- a - (2 b)) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} + (- a - 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.5

Expande $(- a - 2 b) (2 a - b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - a (2 a - b) - 2 b (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - a (2 a) - a (- b) - 2 b (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - a (2 a) - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 1 \cdot 2 a \cdot a - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.2.1

Mueve $a$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 1 \cdot 2 (a \cdot a) - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 1 \cdot 2 a^{2} - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} - 1 \cdot - 1 a b - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + 1 a b - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.6

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 2 \cdot 2 b a - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.8

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 \cdot - 1 b \cdot b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.10

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.10.1

Mueve $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 \cdot - 1 (b \cdot b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.10.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 \cdot - 1 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.1.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.2

Resta $4 b a$ de $a b$ .

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Paso 6.6.2.1

Mueve $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.6.2.2

Resta $4 a b$ de $a b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} - 3 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.7

Resta $2 a^{2}$ de $50 a^{2}$ .

$\frac{48 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 3 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.8

Resta $3 a b$ de $- 25 a b$ .

$\frac{48 a^{2} - 12 b^{2} - 28 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.9

Suma $- 12 b^{2}$ y $2 b^{2}$ .

$\frac{48 a^{2} - 10 b^{2} - 28 a b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10

Reescribe $48 a^{2} - 10 b^{2} - 28 a b$ en forma factorizada.

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Paso 6.10.1

Factoriza $2$ de $48 a^{2} - 10 b^{2} - 28 a b$ .

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Paso 6.10.1.1

Factoriza $2$ de $48 a^{2}$ .

$\frac{2 (24 a^{2}) - 10 b^{2} - 28 a b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.1.2

Factoriza $2$ de $- 10 b^{2}$ .

$\frac{2 (24 a^{2}) + 2 (- 5 b^{2}) - 28 a b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.1.3

Factoriza $2$ de $- 28 a b$ .

$\frac{2 (24 a^{2}) + 2 (- 5 b^{2}) + 2 (- 14 a b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.1.4

Factoriza $2$ de $2 (24 a^{2}) + 2 (- 5 b^{2})$ .

$\frac{2 (24 a^{2} - 5 b^{2}) + 2 (- 14 a b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.1.5

Factoriza $2$ de $2 (24 a^{2} - 5 b^{2}) + 2 (- 14 a b)$ .

$\frac{2 (24 a^{2} - 5 b^{2} - 14 a b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.10.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 24 \cdot - 5 = - 120$ y cuya suma es $b = - 14$ .

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Paso 6.10.2.1.1

Reordena $- 5 b^{2}$ y $- 14 a b$ .

$\frac{2 (24 a^{2} - 14 a b - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.2.1.2

Factoriza $- 14$ de $- 14 a b$ .

$\frac{2 (24 a^{2} - 14 (a b) - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.2.1.3

Reescribe $- 14$ como $6$ más $- 20$

$\frac{2 (24 a^{2} + (6 - 20) (a b) - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (24 a^{2} + 6 (a b) - 20 (a b) - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.2.1.5

Mueve los paréntesis.

$\frac{2 (24 a^{2} + 6 a b - 20 a b - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.10.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((24 a^{2} + 6 a b) - 20 a b - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (6 a (4 a + b) - 5 b (4 a + b))}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Paso 6.10.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 a + b$ .

$\frac{2 ((4 a + b) (6 a - 5 b))}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

$\frac{2 (4 a + b) (6 a - 5 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$