Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} \ln (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 4} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Paso 1.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Paso 1.2.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 16}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Paso 1.3.3.2

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.5

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.7.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.7.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.9

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Paso 3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 3.12

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + 0}$

Paso 3.13

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x (2 x)}$

Paso 5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x)}$

Paso 5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x^{1})}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Paso 5.5

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{2}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 6.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Paso 6.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}$

Paso 7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4^{2}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4^{2}}$

Paso 8.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{2}}$

Paso 8.3.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{2}$ .

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Paso 8.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2}}$

Paso 8.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4}}$

Paso 8.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{1 + 4}}$

Paso 8.3.4

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{1}{2^{5}}$

Paso 8.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{32}$