Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Paso 1

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Paso 2

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 2.1

Evalúa el límite de $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

Paso 2.2

Reescribe $\cot (0)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

Paso 2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

Paso 2.4

Como $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 3

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Paso 4

Evalúa el límite derecho.

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Paso 4.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Paso 4.1.1.2

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la derecha, los valores de la función aumentan sin cota.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Paso 4.1.1.3

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x)$ disminuye sin cota.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 4.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 4.1.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 4.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 4.1.3.2

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 4.1.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

Paso 4.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

Paso 4.2

Reescribe $- \csc^{2} (x) x$ como $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.3.1.2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 4.3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.3.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Paso 4.3.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 4.3.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.3.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 4.3.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 4.3.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 4.3.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 4.3.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 4.3.3.6

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Paso 4.3.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Paso 4.3.3.8

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Paso 4.3.3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Paso 4.3.3.10

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Paso 4.3.3.11

Simplifica.

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Paso 4.3.3.11.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Paso 4.3.3.11.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Paso 4.3.3.11.3

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 4.3.3.11.4

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 4.3.3.11.4.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 4.3.3.11.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 4.3.3.11.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Paso 4.3.3.11.5

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

Paso 4.3.4

Separa las fracciones.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Paso 4.3.5

Convierte de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ a $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

Paso 4.3.6

Divide $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

Paso 4.4

Como la función $\csc (2 x)$ se acerca a $\infty$ , la constante negativa $- 1$ veces la función se acerca a $- \infty$ .

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Paso 4.4.1

Considera el límite con el múltiplo constante $- 1$ eliminado.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

Paso 4.4.2

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la derecha, los valores de la función aumentan sin cota.

$\infty$

Paso 4.4.3

Como la función $\csc (2 x)$ se acerca a $\infty$ , la constante negativa $- 1$ veces la función se acerca a $- \infty$ .

$- \infty$

Paso 5

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$