Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Paso 1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

Paso 1.3.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (\sec (x))$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Paso 3.4.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Paso 3.5

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Paso 3.6

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Paso 3.7

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Paso 3.8

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Paso 3.9

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Paso 3.10

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 3.11.1.1

Agrega paréntesis.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

Paso 3.11.1.2

Reordena $\cos (x)$ y $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

Paso 3.11.1.3

Reescribe $2 \cos (x) \sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

Paso 3.11.1.4

Cancela los factores comunes.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

Paso 3.11.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

Paso 3.11.3

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.11.4

Combina $2$ y $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Combina $2$ y $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

Paso 5.2

Combina $x$ y $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Paso 7

Convierte de $\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ a $x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

Paso 8

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Paso 9

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Paso 10

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $1$ .

$1$

Paso 11

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Paso 12

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Paso 13

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $1$ .

$1$