Cálculo Ejemplos

$lim_{c \to 0} \frac{mg}{c} (1 - e^{- \frac{c t}{m}})$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{mg}{c}$ por $1 - e^{- \frac{c t}{m}}$ .

$lim_{c \to 0} \frac{mg (1 - e^{- \frac{c t}{m}})}{c}$

Paso 1.2

Mueve el término $mg$ fuera del límite porque es constante con respecto a $c$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{1 - e^{- \frac{c t}{m}}}{c}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$mg \frac{lim_{c \to 0} 1 - e^{- \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $c$ se aproxima a $0$ .

$mg \frac{lim_{c \to 0} 1 - lim_{c \to 0} e^{- \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $c$ se acerca a $0$ .

$mg \frac{1 - lim_{c \to 0} e^{- \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$mg \frac{1 - e^{lim_{c \to 0} - \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.1.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $c$ .

$mg \frac{1 - e^{- lim_{c \to 0} \frac{c t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.1.5

Mueve el término $\frac{t}{m}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $c$ .

$mg \frac{1 - e^{- \frac{t}{m} lim_{c \to 0} c}}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $c$ mediante el ingreso de $0$ para $c$ .

$mg \frac{1 - e^{- \frac{t}{m} \cdot 0}}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $- \frac{t}{m} \cdot 0$ .

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Paso 2.1.2.3.1.1.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$mg \frac{1 - e^{0 \frac{t}{m}}}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.3.1.1.2

Multiplica $0$ por $\frac{t}{m}$ .

$mg \frac{1 - e^{0}}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$mg \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$mg \frac{1 - 1}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$mg \frac{0}{lim_{c \to 0} c}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $c$ mediante el ingreso de $0$ para $c$ .

$mg \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$mg \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{c \to 0} \frac{1 - e^{- \frac{c t}{m}}}{c} = lim_{c \to 0} \frac{\frac{d}{d c} [1 - e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{d}{d c} [1 - e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{- \frac{c t}{m}}$ con respecto a $c$ es $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- e^{- \frac{c t}{m}}]$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $c$ , la derivada de $1$ con respecto a $c$ es $0$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d c} [- e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d c} [- e^{- \frac{c t}{m}}]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $c$ , la derivada de $- e^{- \frac{c t}{m}}$ con respecto a $c$ es $- \frac{d}{d c} [e^{- \frac{c t}{m}}]$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d c} [e^{- \frac{c t}{m}}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ es $f' (g (c)) g' (c)$ donde $f (c) = e^{c}$ y $g (c) = - \frac{c t}{m}$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{c t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d c} [- \frac{c t}{m}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{u} \frac{d}{d c} [- \frac{c t}{m}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{c t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{- \frac{c t}{m}} \frac{d}{d c} [- \frac{c t}{m}]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4.3

Como $- \frac{t}{m}$ es constante con respecto a $c$ , la derivada de $- \frac{c t}{m}$ con respecto a $c$ es $- \frac{t}{m} \frac{d}{d c} [c]$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{- \frac{c t}{m}} \cdot - 1 \frac{t}{m} \frac{d}{d c} [c]}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ es $n c^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{- \frac{c t}{m}} \cdot - 1 \frac{t}{m} \cdot 1}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - e^{- \frac{c t}{m}} \cdot - 1 \frac{t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4.6

Combina $e^{- \frac{c t}{m}}$ y $\frac{t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 - - 1 \frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 + 1 \frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.4.8

Multiplica $\frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}$ por $1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{0 + \frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Suma $0$ y $\frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.5.2

Reordena los factores en $\frac{e^{- \frac{c t}{m}} t}{m}$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m}}{\frac{d}{d c} [c]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ es $n c^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{\frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m}}{1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$mg lim_{c \to 0} \frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m} \cdot 1$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m}$ por $1$ .

$mg lim_{c \to 0} \frac{t e^{- \frac{c t}{m}}}{m}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{t}{m}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $c$ .

$mg \frac{t}{m} lim_{c \to 0} e^{- \frac{c t}{m}}$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$mg \frac{t}{m} e^{lim_{c \to 0} - \frac{c t}{m}}$

Paso 3.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $c$ .

$mg \frac{t}{m} e^{- lim_{c \to 0} \frac{c t}{m}}$

Paso 3.4

Mueve el término $\frac{t}{m}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $c$ .

$mg \frac{t}{m} e^{- \frac{t}{m} lim_{c \to 0} c}$

Paso 4

Evalúa el límite de $c$ mediante el ingreso de $0$ para $c$ .

$mg \frac{t}{m} e^{- \frac{t}{m} \cdot 0}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $mg$ y $\frac{t}{m}$ .

$\frac{t}{m} mg e^{- \frac{t}{m} \cdot 0}$

Paso 5.2

Multiplica $- \frac{t}{m} \cdot 0$ .

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Paso 5.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{t}{m} mg e^{0 \frac{t}{m}}$

Paso 5.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{t}{m}$ .

$\frac{t}{m} mg e^{0}$

Paso 5.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{t}{m} mg \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica $\frac{t}{m}$ por $1$ .

$\frac{t}{m} mg$