Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Paso 1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Paso 1.3.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Paso 3.4

Reordena los factores de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 3.5.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Paso 3.6

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2}) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \cos (x^{2}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 5.2

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \cos (x^{2}) \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 5.3

Combina $\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x^{2})$

Paso 5.4

Combina $\frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)}$ y $\cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$

Paso 6

Convierte de $\frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$ a $- 2 \cos (x) x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) x \cot (x)$

Paso 7

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) x \cot (x)$

Paso 8

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (x) x \cot (x)$

Paso 9

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cos (x) x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99168527 \\ - 0.01 & 0.99991666 \\ - 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Paso 10

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $\cos (x) x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $1$ .

$1$

Paso 11

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) x \cot (x)$

Paso 12

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cos (x) x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99168527 \\ 0.01 & 0.99991666 \\ 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Paso 13

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $\cos (x) x \cot (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 14

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$