Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{4} + 2 x - 20}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Paso 1.2.1.3

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Paso 1.2.3.2

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 20}$

Paso 1.3.2

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 20}$

Paso 1.3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 20}$

Paso 1.3.4

Evalúa el límite de $20$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 20}$

Paso 1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2^{4} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 20}$

Paso 1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2^{4} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 20}$

Paso 1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{0}{16 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 20}$

Paso 1.3.6.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{16 + 4 - 1 \cdot 20}$

Paso 1.3.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$\frac{0}{16 + 4 - 20}$

Paso 1.3.6.2

Suma $16$ y $4$ .

$\frac{0}{20 - 20}$

Paso 1.3.6.3

Resta $20$ de $20$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{4} + 2 x - 20} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Paso 3.4

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Paso 3.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 2 x - 20$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.8.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Paso 3.8.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Paso 3.9

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 + 0}$

Paso 3.10

Suma $4 x^{3} + 2$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to 2} \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 2}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$3 \frac{lim_{x \to 2} x^{2}}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + 2}$

Paso 6

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + 2}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} 2}$

Paso 8

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 2}$

Paso 9

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 2}$

Paso 10

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$3 \frac{2^{2}}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$3 \frac{2^{2}}{4 \cdot 2^{3} + 2}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 \frac{4}{4 \cdot 2^{3} + 2}$

Paso 12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$3 \frac{4}{4 \cdot 8 + 2}$

Paso 12.2.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$3 \frac{4}{32 + 2}$

Paso 12.2.3

Suma $32$ y $2$ .

$3 (\frac{4}{34})$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $4$ y $34$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$3 \frac{2 (2)}{34}$

Paso 12.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.2.1

Factoriza $2$ de $34$ .

$3 \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 17}$

Paso 12.3.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 17}$

Paso 12.3.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2}{17})$

Paso 12.4

Multiplica $3 (\frac{2}{17})$ .

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Paso 12.4.1

Combina $3$ y $\frac{2}{17}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{17}$

Paso 12.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{17}$