Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $121$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.1.5

Evalúa el límite de $11$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Suma $0$ y $121$ .

$\frac{\sqrt{121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.3.1.2

Reescribe $121$ como $11^{2}$ .

$\frac{\sqrt{11^{2}} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{11 - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$\frac{11 - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $11$ de $11$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Paso 1.3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x + 121} - 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}]$ .

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 121}$ como ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 121)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 121$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 121$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.5

Como $121$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $121$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.13

Multiplica $\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.14

Mueve ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.4

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.5

Suma $\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.6

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\sec^{2} (x)}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Paso 5

Reescribe ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 121}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Paso 6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x + 121}}$ por $\frac{1}{\sec^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Paso 7

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 11

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 13

Evalúa el límite de $121$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 14

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Paso 15

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 16

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 16.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 16.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Paso 17

Simplifica la respuesta.

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Paso 17.1

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{2 (\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0))}$

Paso 17.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Paso 17.3

Simplifica el denominador.

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Paso 17.3.1

Suma $0$ y $121$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{121} \sec^{2} (0)}$

Paso 17.3.2

Reescribe $121$ como $11^{2}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{11^{2}} \sec^{2} (0)}$

Paso 17.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \sec^{2} (0)}$

Paso 17.3.4

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1^{2}}$

Paso 17.3.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1}$

Paso 17.3.6

Combina exponentes.

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Paso 17.3.6.1

Multiplica $2$ por $11$ .

$\frac{1}{22 \cdot 1}$

Paso 17.3.6.2

Multiplica $22$ por $1$ .

$\frac{1}{22}$