Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^{2} (5 x)}{{(6 x)}^{2}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (5 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.1.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.1.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reordena $1$ y $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{- \sec^{2} (5 \cdot 0) + 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{- (\sec^{2} (5 \cdot 0)) + 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- (\sec^{2} (5 \cdot 0) - 1)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \tan^{2} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3.6

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3.7

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{- 0^{2}}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{- 0}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.2.3.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Mueve el exponente $2$ de ${(6 x)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 6 x)}^{2}}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{{(6 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{{(6 \cdot 0)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^{2} (5 x)}{{(6 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sec^{2} (5 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sec^{2} (5 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (5 x)$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.3.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.7

Mueve $5$ a la izquierda de $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x))))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.8

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (5 \sec (5 x) \tan (5 x)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.9

Multiplica $5$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.10

Eleva $\sec (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.11

Eleva $\sec (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.13

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.14

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 10 (\sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.4.15

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Resta $10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.2

Reescribe $\sec (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.5

Combina $- 10$ y $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.7

Reescribe $\tan (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.8

Multiplica $- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

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Paso 3.5.8.1

Multiplica $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ por $\frac{10}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.8.2

Multiplica $\cos (5 x)$ por $\cos^{2} (5 x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.8.2.1

Multiplica $\cos (5 x)$ por $\cos^{2} (5 x)$ .

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Paso 3.5.8.2.1.1

Eleva $\cos (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.8.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{{\cos (5 x)}^{1 + 2}}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.8.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.5.9

Mueve $10$ a la izquierda de $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Paso 3.6

Aplica la regla del producto a $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [6^{2} x^{2}]}$

Paso 3.7

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [36 x^{2}]}$

Paso 3.8

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{36 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{36 (2 x)}$

Paso 3.10

Multiplica $2$ por $36$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{72 x}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} \cdot \frac{1}{72 x}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{72 x}$ por $\frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sin (5 x)}{72 x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $10$ y $72$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $10 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{72 x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $72 x \cos^{3} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{2 (36 x \cos^{3} (5 x))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{2 (36 x \cos^{3} (5 x))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sin (5 x)}{36 x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 5.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{36 x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 5.4

Mueve el término $\frac{5}{36}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 6

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 6.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 6.1.2.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 6.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 6.1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 6.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Paso 6.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 6.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Paso 6.1.3.2

Mueve el exponente $3$ de $\cos^{3} (5 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}}$

Paso 6.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 6.1.3.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 6.1.3.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.6.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (0)}$

Paso 6.1.3.6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1^{3}}$

Paso 6.1.3.6.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}$

Paso 6.1.3.6.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 6.1.3.6.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 6.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 6.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x \cos^{3} (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Paso 6.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 6.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Paso 6.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Paso 6.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Paso 6.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Paso 6.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Paso 6.3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Paso 6.3.6

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Paso 6.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos^{3} (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Paso 6.3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 6.3.9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.9.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.9.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 3 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 3 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.12

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 1 + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.14

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x) \cdot 1}$

Paso 6.3.16

Multiplica $\cos^{3} (5 x)$ por $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Paso 6.3.17

Reordena los términos.

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{- 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{- 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.6

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.8

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.10

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.11

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.12

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Paso 7.13

Mueve el exponente $3$ de $\cos^{3} (5 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}}$

Paso 7.14

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 7.15

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 8.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 8.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Multiplica $- \frac{5}{36} \cdot 5$ .

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Paso 9.1.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{5}{36}) \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.1.2

Combina $- 5$ y $\frac{5}{36}$ .

$\frac{- 5 \cdot 5}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$\frac{- 25}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{\cos (0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.4

Simplifica el denominador.

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Paso 9.4.1

Multiplica $- 15$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.4.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.4.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.4.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.4.6

Multiplica $5$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.4.7

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.4.8

Multiplica $0$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Paso 9.4.9

Multiplica $5$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

Paso 9.4.10

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

Paso 9.4.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Paso 9.4.12

Suma $0$ y $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 9.5.1

Cancela el factor común.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 9.5.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{25}{36} \cdot 1$

Paso 9.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{25}{36}$