Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Paso 1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Paso 1.3

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{\ln (x)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.6

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{1}{x}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} x$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{x \ln (x)}$ y $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x)}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\ln (x)}$ se acerca a $0$ .

$0$