Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Paso 1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite de $\arctan (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Paso 1.2.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (8 \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Paso 3.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Paso 3.3

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Paso 3.4.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Paso 3.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \cdot 1)}$

Paso 3.7

Multiplica $8$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \cdot 8}$

Paso 3.8

Mueve $8$ a la izquierda de $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cdot \cos (8 x)}$

Paso 3.9

Multiplica $8$ por $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cos (8 x)}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{8 \cos (8 x)}$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{x^{2} + 1}$ por $\frac{1}{8 \cos (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (8 \cos (8 x))}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{8}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Paso 11

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Paso 12

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Paso 13

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Paso 14

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 15

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{8 ((0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0))}$

Paso 16.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Paso 16.3

Simplifica el denominador.

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Paso 16.3.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cos (0)}$

Paso 16.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{8 (0 + 1) \cos (0)}$

Paso 16.3.3

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1 \cos (0)}$

Paso 16.3.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{8 \cos (0)}$

Paso 16.3.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1}$

Paso 16.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{8}$