Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} - 5^{x} - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 6^{x} - 5^{x} - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 6^{x} - lim_{x \to 1} 5^{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 5^{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - 5^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - 5^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{6^{1} - 5^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{6^{1} - 5^{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.1.1

Evalúa el exponente.

$\frac{6 - 5^{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.6.1.2

Evalúa el exponente.

$\frac{6 - 1 \cdot 5 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{6 - 5 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 - 5 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.6.2

Resta $5$ de $6$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.2.6.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} - 5^{x} - 1}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x} - 5^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x} - 5^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6^{x} - 5^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $6$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5^{x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.4.3

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.6

Suma $6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x + 0}$

Paso 3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{x}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6^{x} \ln (6) - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 7

Mueve el término $\ln (6)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) lim_{x \to 1} 6^{x} - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 8

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 9

Mueve el término $\ln (5)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - \ln (5) lim_{x \to 1} 5^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 10

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}}{1}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Divide $\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} (\ln (6) \cdot 6 - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Paso 12.2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $\ln (6)$ .

$\frac{1}{2} (6 \cdot \ln (6) - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Paso 12.2.3

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} (6 \ln (6) - \ln (5) \cdot 5)$

Paso 12.2.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 \ln (6) - 5 \ln (5))$

Paso 12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (6 \ln (6)) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Paso 12.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.4.1

Factoriza $2$ de $6 \ln (6)$ .

$\frac{1}{2} (2 (3 \ln (6))) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Paso 12.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 (3 \ln (6))) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Paso 12.4.3

Reescribe la expresión.

$3 \ln (6) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Paso 12.5

Multiplica $\frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$ .

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Paso 12.5.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 \ln (6) + \frac{- 5}{2} \ln (5)$

Paso 12.5.2

Combina $\frac{- 5}{2}$ y $\ln (5)$ .

$3 \ln (6) + \frac{- 5 \ln (5)}{2}$

Paso 12.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \ln (6) - \frac{5 \ln (5)}{2}$