Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{49 - x^{2}} - 7}{9 x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{49 - x^{2}} - 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{49 - x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $49$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{49 - lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.1.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.1.6

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{49 - 0^{2}} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{\sqrt{49 - 0} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{49 + 0} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.3.1.3

Suma $49$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{49} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.3.1.4

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2}} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{7 - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.2.3.2

Resta $7$ de $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{9 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{9 \cdot 0}$

Paso 1.3.3

Multiplica $9$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{49 - x^{2}} - 7}{9 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}} - 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}} - 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{49 - x^{2}} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}}]$ .

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{49 - x^{2}}$ como ${(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 49 - x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $49 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $49 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $49 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.4

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.12

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.13

Resta $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.15

Combina $- 2$ y $\frac{{(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.16

Combina $\frac{- 2 {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.17

Mueve ${(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 x}{2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.18

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.19.1

Factoriza $2$ de $2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (- x)}{2 ({(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.19.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.19.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.3.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.5

Suma $- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Paso 3.6

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1}$

Paso 3.8

Multiplica $9$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Paso 5

Reescribe ${(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{49 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{\sqrt{49 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Paso 6

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{x}{\sqrt{49 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{9 \sqrt{49 - x^{2}}}$

Paso 7

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{x}{9 \sqrt{49 - x^{2}}}$

Paso 8

Mueve el término $\frac{1}{9}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{49 - x^{2}}}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{49 - x^{2}}}$

Paso 10

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - x^{2}}}$

Paso 11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 12

Evalúa el límite de $49$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{49 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 13

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 - 0^{2}}}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Simplifica el denominador.

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Paso 15.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 - 0}}$

Paso 15.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 + 0}}$

Paso 15.1.3

Suma $49$ y $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49}}$

Paso 15.1.4

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{7^{2}}}$

Paso 15.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{7}$

Paso 15.2

Divide $0$ por $7$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 0$

Paso 15.3

Multiplica $- \frac{1}{9} \cdot 0$ .

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Paso 15.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{9})$

Paso 15.3.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{9}$ .

$0$