Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\arctan (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Paso 1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Paso 1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Paso 1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.4.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Paso 1.2.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Paso 1.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite de $\arctan (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\arctan (0)}$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Paso 3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Paso 3.6

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{1}{1 + x^{2}}}$

Paso 3.7

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{1}{x^{2} + 1}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} (- 1 + \sec^{2} (x)) (x^{2} + 1)$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$(- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$(- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$(- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Paso 9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Paso 11

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Paso 12

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$(- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$(- 1 + \sec^{2} (0)) \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$(- 1 + \sec^{2} (0)) \cdot (0^{2} + 1)$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Reordena $- 1$ y $\sec^{2} (0)$ .

$(\sec^{2} (0) - 1) \cdot (0^{2} + 1)$

Paso 14.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\tan^{2} (0) \cdot (0^{2} + 1)$

Paso 14.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$0^{2} \cdot (0^{2} + 1)$

Paso 14.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 \cdot (0^{2} + 1)$

Paso 14.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 \cdot (0 + 1)$

Paso 14.6

Suma $0$ y $1$ .

$0 \cdot 1$

Paso 14.7

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$