Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{5 x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 1.3

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} (5 \cdot 1)}$

Paso 3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} \cdot 5}$

Paso 3.7

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5 \cdot e^{5 x}}$

Paso 3.8

Multiplica $5$ por $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5 e^{5 x}}$

Paso 4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5 e^{5 x}}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{5 x}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 5.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 5.1.3

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 5.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 5.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 5.3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 5.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} (5 \cdot 1)}$

Paso 5.3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} \cdot 5}$

Paso 5.3.7

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{5 e^{5 x}}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{4}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{5 x}}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 7.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 7.1.3

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 7.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 7.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 7.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 7.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 7.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 7.3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1}$

Paso 7.3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \cdot 5}$

Paso 7.3.7

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{5 e^{5 x}}$

Paso 8

Mueve el término $\frac{3}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{5 x}}$

Paso 9

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 9.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 9.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 9.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 9.1.3

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 9.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 9.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 9.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 9.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 9.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 9.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 9.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 9.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 9.3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 9.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1}$

Paso 9.3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \cdot 5}$

Paso 9.3.7

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{5 e^{5 x}}$

Paso 10

Mueve el término $\frac{2}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{5 x}}$

Paso 11

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 11.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 11.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 11.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 11.1.3

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 11.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 11.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 11.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 11.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 11.3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 11.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1}$

Paso 11.3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \cdot 5}$

Paso 11.3.7

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 e^{5 x}}$

Paso 12

Mueve el término $\frac{1}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x}}$

Paso 13

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{5 x}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}$ .

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Paso 14.1.1

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{3}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 5} \cdot \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Paso 14.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{5 \cdot 5} \cdot \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Paso 14.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{12}{25} \cdot \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Paso 14.2

Multiplica $\frac{12}{25} \cdot \frac{2}{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Multiplica $\frac{12}{25}$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 2}{25 \cdot 5} \cdot \frac{1}{5} \cdot 0$

Paso 14.2.2

Multiplica $12$ por $2$ .

$\frac{24}{25 \cdot 5} \cdot \frac{1}{5} \cdot 0$

Paso 14.2.3

Multiplica $25$ por $5$ .

$\frac{24}{125} \cdot \frac{1}{5} \cdot 0$

Paso 14.3

Multiplica $\frac{24}{125} \cdot \frac{1}{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.1

Multiplica $\frac{24}{125}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{24}{125 \cdot 5} \cdot 0$

Paso 14.3.2

Multiplica $125$ por $5$ .

$\frac{24}{625} \cdot 0$

Paso 14.4

Multiplica $\frac{24}{625}$ por $0$ .

$0$