Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 5 x + 2}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Paso 1.3.2

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Paso 1.3.3

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Paso 1.3.4

Infinito más infinito es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 5 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 0}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.6

Suma $8 x - 5$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{5 x} + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

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Paso 3.8.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.8.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.8.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.8.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.8.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.8.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.8.5

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.9

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{1}{x}}$

Paso 3.10

Reordena los términos.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + 5 e^{5 x}}$

Paso 4

Combina los términos.

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Paso 4.1

Para escribir $5 e^{5 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + \frac{5 e^{5 x} x}{x}}$

Paso 4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1 + 5 e^{5 x} x}{x}}$

Paso 5

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} (8 x - 5) \frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Paso 5.2

Multiplica $8 x - 5$ por $\frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Paso 6

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} (8 x - 5) x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x \cdot x - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Paso 6.1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Paso 6.1.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x^{1}) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Paso 6.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{1 + 1} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Paso 6.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Paso 6.1.2.6

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Paso 6.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 6.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 6.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Paso 6.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Paso 6.1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Paso 6.1.3.1.4

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Paso 6.1.3.2

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Paso 6.1.3.3

Evalúa el límite.

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Paso 6.1.3.3.1

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot \infty}$

Paso 6.1.3.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1.3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.3.3.2.1.1

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$\frac{\infty}{1 + \infty \cdot \infty}$

Paso 6.1.3.3.2.1.2

Infinito veces infinito es infinito.

$\frac{\infty}{1 + \infty}$

Paso 6.1.3.3.2.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.1.3.3.2.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.1.3.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 8 x - 5$ y $g (x) = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.4

Multiplica $8 x - 5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.6

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.8

Multiplica $8$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.9

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + 0)}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.10

Suma $8$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \cdot 8}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.11

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 8 \cdot x}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.12

Suma $8 x$ y $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 5 e^{5 x} x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.15

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

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Paso 6.3.15.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{5 x} x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]}$

Paso 6.3.15.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{5 x}$ y $g (x) = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Paso 6.3.15.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Paso 6.3.15.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 6.3.15.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Paso 6.3.15.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Paso 6.3.15.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Paso 6.3.15.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])))}$

Paso 6.3.15.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Paso 6.3.15.7

Multiplica $e^{5 x}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Paso 6.3.15.8

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} \cdot 5))}$

Paso 6.3.15.9

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (5 e^{5 x}))}$

Paso 6.3.16

Simplifica.

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Paso 6.3.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 5 (x (5 e^{5 x}))}$

Paso 6.3.16.2

Combina los términos.

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Paso 6.3.16.2.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 25 (x (e^{5 x}))}$

Paso 6.3.16.2.2

Suma $0$ y $5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}}$

Paso 6.3.16.3

Reordena los términos.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}}$

Paso 6.3.16.4

Reordena los factores en $25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 16 x - 5}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Paso 7.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Paso 7.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 7.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 7.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Paso 7.1.3.1.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Paso 7.1.3.1.3

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Paso 7.1.3.1.4

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Paso 7.1.3.2

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Paso 7.1.3.3

Como la función $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $5$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 7.1.3.3.1

Considera el límite con el múltiplo constante $5$ eliminado.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 7.1.3.3.2

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + \infty}$

Paso 7.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.3.4.1.1

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$\frac{\infty}{\infty \cdot \infty + \infty}$

Paso 7.1.3.4.1.2

Infinito veces infinito es infinito.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Paso 7.1.3.4.2

Infinito más infinito es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.1.3.4.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 7.3.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.3.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + 0}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.5

Suma $16$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}]$ .

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Paso 7.3.7.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 x e^{5 x}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 7.3.7.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.7

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.8

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.7.9

Multiplica $e^{5 x}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Paso 7.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

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Paso 7.3.8.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{5 x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 7.3.8.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 7.3.8.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Paso 7.3.8.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Paso 7.3.8.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Paso 7.3.8.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Paso 7.3.8.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Paso 7.3.8.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Paso 7.3.8.6

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (5 \cdot e^{5 x})}$

Paso 7.3.8.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 25 e^{5 x}}$

Paso 7.3.9

Simplifica.

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Paso 7.3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Paso 7.3.9.2

Combina los términos.

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Paso 7.3.9.2.1

Multiplica $5$ por $25$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 (x (e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Paso 7.3.9.2.2

Suma $25 e^{5 x}$ y $25 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Paso 7.3.9.3

Reordena los términos.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}}$

Paso 7.3.9.4

Reordena los factores en $125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Paso 8

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$16 lim_{x \to \infty} \frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$ se acerca a $0$ .

$16 \cdot 0$

Paso 10

Multiplica $16$ por $0$ .

$0$