Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x - 6}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 4 x + 7}{lim_{x \to \infty} x - 6}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - 6}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x - 6} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 3.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 3.6

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Paso 3.9

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{1 + 0}$

Paso 3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{1}$

Paso 4

Divide $2 x + 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x + 4$

Paso 5

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\infty$