Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Paso 1.2.2

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $6$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 1.2.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $6$ eliminado.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Paso 1.2.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Paso 1.2.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\infty + 5 lim_{x \to \infty} e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Paso 1.2.4

Como el exponente $- x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\infty + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Paso 1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Paso 1.2.5.2

Suma $\infty$ y $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Paso 1.3.2

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $7$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 1.3.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $7$ eliminado.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Paso 1.3.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Paso 1.3.3

Evalúa el límite de $4 e$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 4 e}$

Paso 1.3.4

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 e^{x} + 5 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 e^{x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.4.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $7 e^{x} + 4 e$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

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Paso 3.6.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 e^{x}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Paso 3.7

Como $4 e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 e$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + 0}$

Paso 3.8

Suma $7 e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x}}$