Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x^{2})}{\sin (2 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\tan ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (0^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.2.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x^{2})}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los factores de $\sec^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \sec^{2} (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.4.2

Reescribe $\sec (x^{2})$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x {(\frac{1}{\cos (x^{2})})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.4.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.4.5

Multiplica $2 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

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Paso 3.4.5.1

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{2}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.4.5.2

Combina $x$ y $\frac{2}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.5.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{2 \cdot \cos (2 x)}$

Paso 3.10

Multiplica $2$ por $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ por $\frac{1}{2 \cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2}) (2 \cos (2 x))}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2}) (2 \cos (2 x))}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos^{2} (x^{2}) (\cos (2 x))}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x^{2}) (\cos (2 x))}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x^{2})$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{{(lim_{x \to 0} \cos (x^{2}))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 10

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 11

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 12

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 13.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot 1 \cdot \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 14.2

Separa las fracciones.

$\frac{0}{1 \cdot \cos (2 \cdot 0)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (0^{2})}$

Paso 14.3

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (0^{2})}$ a $\sec^{2} (0^{2})$ .

$\frac{0}{1 \cdot \cos (2 \cdot 0)} \sec^{2} (0^{2})$

Paso 14.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{1 \cdot \cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Paso 14.5

Multiplica $\cos (0)$ por $1$ .

$\frac{0}{\cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Paso 14.6

Separa las fracciones.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Paso 14.7

Convierte de $\frac{1}{\cos (0)}$ a $\sec (0)$ .

$\frac{0}{1} \sec (0) \sec^{2} (0^{2})$

Paso 14.8

Divide $0$ por $1$ .

$0 \sec (0) \sec^{2} (0^{2})$

Paso 14.9

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$0 \cdot 1 \sec^{2} (0^{2})$

Paso 14.10

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 \sec^{2} (0^{2})$

Paso 14.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 \sec^{2} (0)$

Paso 14.12

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$0 \cdot 1^{2}$

Paso 14.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 \cdot 1$

Paso 14.14

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$