Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.7.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.7.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}$

Paso 1.3.1.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (1 - x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.7

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.8

Combina $\frac{1}{1 - x}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.4.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Paso 3.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.7.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Paso 3.7.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Paso 3.7.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Paso 3.7.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))}$

Paso 3.7.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))}$

Paso 3.7.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 (\cos (x) \sin (x))}$

Paso 3.7.6

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Suma $0$ y $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 3.8.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

Paso 3.8.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Paso 3.8.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (2 x)}$

Paso 4

Como la función se acerca a $\infty$ desde la izquierda y a $- \infty$ desde la derecha, el límite no existe.

$No existe$