Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{\sin (3 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.4.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{\sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.5

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.6.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Paso 3.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}$

Paso 3.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x) \cdot 3}$

Paso 3.10

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{3 \cdot \cos (3 x)}$

Paso 3.11

Multiplica $3$ por $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{3 \cos (3 x)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\cos (3 x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Paso 9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Paso 10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Paso 11

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Paso 12

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 13.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 13.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}{\cos (3 \cdot 0)}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1^{2} + \tan (0)}{\cos (3 \cdot 0)}$

Paso 14.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \tan (0)}{\cos (3 \cdot 0)}$

Paso 14.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \tan (0)}{\cos (3 \cdot 0)}$

Paso 14.1.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 0}{\cos (3 \cdot 0)}$

Paso 14.1.5

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (3 \cdot 0)}$

Paso 14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0)}$

Paso 14.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Paso 14.3

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0$

Paso 14.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$0$