Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 - | x - 5 |$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - | x - 5 |$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$

Paso 1.1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- | x - 5 |$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [| x - 5 |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x - 5 |]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 1.1.2.2.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Paso 1.1.2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (1 + 0))$

Paso 1.1.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} \cdot 1)$

Paso 1.1.2.7

Multiplica $\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ por $1$ .

$0 - \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

Paso 1.1.3

Resta $\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x - 5}{| x - 5 |}$ .

$- \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x - 5}{| x - 5 |} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x - 5}{| x - 5 |} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x - 5 = 0$

Paso 2.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x - 5 | = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - 5 = \pm 0$

Paso 3.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 3.2.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4

Evalúa $5 - | x - 5 |$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$5 - | (5) - 5 |$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Resta $5$ de $5$ .

$5 - | 0 |$

Paso 4.1.2.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$5 - 0$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$5 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $5$ y $0$ .

$5$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(5, 5)$

Paso 5