Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ como ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 1.1.2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 1.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Paso 1.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Paso 1.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Paso 1.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Paso 1.1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Paso 1.1.2.10.2

Resta $3$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Paso 1.1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Paso 1.1.2.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Paso 1.1.2.13

Resta $3 x^{2}$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Paso 1.1.2.14

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Paso 1.1.2.15

Combina $- 3$ y $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Paso 1.1.2.16

Combina $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Paso 1.1.2.17

Mueve ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2.18

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.19.1

Factoriza $3$ de $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 1.1.2.19.2

Cancela el factor común.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2.19.3

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ como ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Establece $2 - x^{3}$ igual a $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{3} = - 2$

Paso 3.3.3.2.2

Divide cada término en $- x^{3} = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- x^{3} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.2.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Paso 3.3.3.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{2}$

Paso 4

Evalúa $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Paso 4.1.2.1.3

Resta $1$ de $2$ .

$1 + \sqrt[3]{1}$

Paso 4.1.2.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1 + 1$

Paso 4.1.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$2$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \sqrt[3]{2}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\sqrt[3]{2}$ por $x$ .

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 4.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 4.2.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

Paso 4.2.2.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

Paso 4.2.2.1.3

Resta $2$ de $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

Paso 4.2.2.1.4

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.2.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\sqrt[3]{2} + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $\sqrt[3]{2}$ y $0$ .

$\sqrt[3]{2}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

Paso 5