Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{5}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{5}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Paso 1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Paso 1.1.5.2

Combina fracciones.

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Paso 1.1.5.2.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Paso 1.1.5.2.2

Combina $3$ y $\frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{3 (x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (x^{5} e^{x}) + 3 (- 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Paso 1.1.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.2.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Paso 1.1.6.2.2

Reordena los factores en $3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 x^{4} e^{x}}{x^{10}}$

Paso 1.1.6.3

Reordena los términos.

$\frac{3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Paso 1.1.6.4

Factoriza $3 e^{x} x^{4}$ de $3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}$ .

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Paso 1.1.6.4.1

Factoriza $3 e^{x} x^{4}$ de $3 e^{x} x^{5}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Paso 1.1.6.4.2

Factoriza $3 e^{x} x^{4}$ de $- 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Paso 1.1.6.4.3

Factoriza $3 e^{x} x^{4}$ de $3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x - 5)}{x^{10}}$

Paso 1.1.6.5

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{10}$ .

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Paso 1.1.6.5.1

Factoriza $x^{4}$ de $3 e^{x} x^{4} (x - 5)$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{10}}$

Paso 1.1.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.6.5.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Paso 1.1.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Paso 1.1.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 e^{x} (x - 5) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.3.2.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.3.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.3.2.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.3.3

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 e^{x} (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 5$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{6} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt[6]{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$\frac{3 e^{5}}{{(5)}^{5}}$

Paso 4.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$\frac{3 e^{5}}{3125}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{3 e^{0}}{{(0)}^{5}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{0}$

Paso 4.2.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(5, \frac{3 e^{5}}{3125})$

Paso 5