Cálculo Ejemplos

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Paso 1.1.2.3

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Paso 1.1.2.4

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Paso 1.1.2.4.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Paso 1.1.2.4.3

Combina $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ y $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Paso 1.1.3.3.2

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} - 32 x$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

Paso 2.3.1.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 32 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

Paso 2.3.1.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ .

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

Paso 2.3.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Paso 2.3.1.3

Factoriza.

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Paso 2.3.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Paso 2.3.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Paso 2.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.4

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.3.4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.3.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 4, 4$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x^{2} - 16 | = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 16 = \pm 0$

Paso 3.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Paso 3.2.3

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 16$

Paso 3.2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{16}$

Paso 3.2.5

Simplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Paso 3.2.5.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Paso 3.2.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 4$

Paso 3.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 4$

Paso 3.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 4$

Paso 3.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 4$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Paso 4

Evalúa $| x^{2} - 16 |$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$| {(0)}^{2} - 16 |$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| 0 - 16 |$

Paso 4.1.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$| - 16 |$

Paso 4.1.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 16$ y $0$ es $16$ .

$16$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 4$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 4$ por $x$ .

$| {(- 4)}^{2} - 16 |$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$| 16 - 16 |$

Paso 4.2.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$| 0 |$

Paso 4.2.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$| {(4)}^{2} - 16 |$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| 16 - 16 |$

Paso 4.3.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$| 0 |$

Paso 4.3.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 16), (- 4, 0), (4, 0)$

Paso 5