Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = - 9 x^{2} + 25$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 9 x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 9 x^{2} + 25$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 9 x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 1.1.2.2

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 1.1.2.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + 0)$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $- 18 x$ y $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x)$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $- 18$ por $2$ .

$- 36 (- 9 x^{2} + 25) x$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 36 (- 9 x^{2}) - 36 \cdot 25) x$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 36 (- 9 x^{2}) x - 36 \cdot 25 x$

Paso 1.1.3.3

Combina los términos.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 9$ por $- 36$ .

$324 x^{2} x - 36 \cdot 25 x$

Paso 1.1.3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$324 (x^{1} x^{2}) - 36 \cdot 25 x$

Paso 1.1.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$324 x^{1 + 2} - 36 \cdot 25 x$

Paso 1.1.3.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$324 x^{3} - 36 \cdot 25 x$

Paso 1.1.3.3.5

Multiplica $- 36$ por $25$ .

$f' (x) = 324 x^{3} - 900 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $324 x^{3} - 900 x$ .

$324 x^{3} - 900 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $324 x^{3} - 900 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$324 x^{3} - 900 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $36 x$ de $324 x^{3} - 900 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $36 x$ de $324 x^{3}$ .

$36 x (9 x^{2}) - 900 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $36 x$ de $- 900 x$ .

$36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $36 x$ de $36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25)$ .

$36 x (9 x^{2} - 25) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$36 x ({(3 x)}^{2} - 25) = 0$

Paso 2.2.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$36 x ({(3 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza.

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Paso 2.2.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 5$ .

$36 x ((3 x + 5) (3 x - 5)) = 0$

Paso 2.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $3 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $3 x + 5$ igual a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $3 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 5$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{3}$

Paso 2.6

Establece $3 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $3 x - 5$ igual a $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $3 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 5$

Paso 2.6.2.2

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 2.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa ${(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(- 9 {(0)}^{2} + 25)}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(- 9 \cdot 0 + 25)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 9$ por $0$ .

${(0 + 25)}^{2}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $25$ .

$25^{2}$

Paso 4.1.2.2.2

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$625$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - \frac{5}{3}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \frac{5}{3}$ por $x$ .

${(- 9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{3}$ .

${(- 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

${(- 9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.6

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.2.1.6.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.6.2

Cancela el factor común.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.2.1

Suma $- 25$ y $25$ .

$0^{2}$

Paso 4.2.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = \frac{5}{3}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{5}{3}$ por $x$ .

${(- 9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.2.1

Suma $- 25$ y $25$ .

$0^{2}$

Paso 4.3.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 625), (- \frac{5}{3}, 0), (\frac{5}{3}, 0)$

Paso 5