Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} e^{- x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} \cdot e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Combina $e^{- x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.4

Combina fracciones.

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Paso 1.1.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.3.4.2

Combina $\frac{e^{- x}}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{e^{- x} \cdot - 1}{2}$

Paso 1.1.3.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{- x}}{2}$

Paso 1.1.3.4.3.2

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{- e^{- x}}{2}$

Paso 1.1.3.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{e^{- x}}{2}$ .

$- \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{e^{- x}}{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$e^{- x} = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 2.3.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.3.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos