Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2} \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.5

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.3

Cancela el factor común.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.4

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $14 x$ de $2 x$ .

$4 \ln (x) x - 12 x$

Paso 1.1.4.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x \ln (x) - 12 x$ .

$4 x \ln (x) - 12 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

Paso 2.2

Suma $12 x$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x \ln (x) = 12 x$

Paso 2.3

Divide cada término en $4 x \ln (x) = 12 x$ por $4 x$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $4 x \ln (x) = 12 x$ por $4 x$ .

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Paso 2.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $12$ y $4$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $12 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Paso 2.3.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Paso 2.3.3.2.2

Divide $3$ por $1$ .

$\ln (x) = 3$

Paso 2.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

Paso 2.5

Reescribe $\ln (x) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x$

Paso 2.6

Reescribe la ecuación como $x = e^{3}$ .

$x = e^{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 3.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = e^{3}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $e^{3}$ por $x$ .

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{3})}^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $3$ fuera del exponente.

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${(e^{3})}^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.1.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

Paso 4.1.2.2

Resta $7 e^{6}$ de $6 e^{6}$ .

$- e^{6}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

Paso 4.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(e^{3}, - e^{6})$

Paso 5