Cálculo Ejemplos

$z^{7} = 128 i$

Paso 1

Sustituye $u$ por $z^{7}$ .

$u^{7} = 128 i$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = 128$ .

$| z | = \sqrt{128^{2}}$

Paso 5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 128$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{128}{0})$

Paso 7

Como el argumento es indefinido y $b$ es positiva, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{π}{2}$ y $| z | = 128$ .

$128 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 9

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$u^{7} = 128 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 10

Usa el teorema de DeMoivre para obtener una ecuación para $u$ .

$r^{7} (c o s (7 θ) + i s i n (7 θ)) = 128 i = 128 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 11

Iguala el módulo de la forma trigonométrica a $r^{7}$ para obtener el valor de $r$ .

$r^{7} = 128$

Paso 12

Resuelve la ecuación en $r$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[7]{128}$

Paso 12.2

Simplifica $\sqrt[7]{128}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Reescribe $128$ como $2^{7}$ .

$r = \sqrt[7]{2^{7}}$

Paso 12.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$r = 2$

Paso 13

Obtén el valor aproximado de $r$ .

$r = 2$

Paso 14

Obtén los posibles valores de $θ$ .

$c o s (7 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ y $s i n (7 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Paso 15

Obtención de todos los valores posibles de $θ$ conduce a la ecuación $7 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Paso 16

Obtén el valor de $θ$ para $r = 0$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Paso 17

Resuelve la ecuación en $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1

Multiplica $2 π (0)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Paso 17.1.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 0$

Paso 17.1.2

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$7 θ = \frac{π}{2}$

Paso 17.2

Divide cada término en $7 θ = \frac{π}{2}$ por $7$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1

Divide cada término en $7 θ = \frac{π}{2}$ por $7$ .

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{π}{2}}{7}$

Paso 17.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{π}{2}}{7}$

Paso 17.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{7}$

Paso 17.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 17.2.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 7}$

Paso 17.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$θ = \frac{π}{14}$

Paso 18

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{7} = 128 i$ .

$u_{0} = 2 (\cos (\frac{π}{14}) + i \sin (\frac{π}{14}))$

Paso 19

Convierte la solución a forma rectangular.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1.1

Evalúa $\cos (\frac{π}{14})$ .

$u_{0} = 2 (0.97492791 + i \sin (\frac{π}{14}))$

Paso 19.1.2

Evalúa $\sin (\frac{π}{14})$ .

$u_{0} = 2 (0.97492791 + i \cdot 0.22252093)$

Paso 19.1.3

Mueve $0.22252093$ a la izquierda de $i$ .

$u_{0} = 2 (0.97492791 + 0.22252093 i)$

Paso 19.2

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{0} = 2 \cdot 0.97492791 + 2 (0.22252093 i)$

Paso 19.2.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.2.1

Multiplica $2$ por $0.97492791$ .

$u_{0} = 1.94985582 + 2 (0.22252093 i)$

Paso 19.2.2.2

Multiplica $0.22252093$ por $2$ .

$u_{0} = 1.94985582 + 0.44504186 i$

Paso 20

Sustituye $z^{7}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{0} = 0 + 1.94985582 + 0.44504186 i$

Paso 21

Obtén el valor de $θ$ para $r = 1$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Paso 22

Resuelve la ecuación en $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 22.1.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 22.1.3

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Paso 22.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Paso 22.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Paso 22.1.6

Suma $π$ y $4 π$ .

$7 θ = \frac{5 π}{2}$

Paso 22.2

Divide cada término en $7 θ = \frac{5 π}{2}$ por $7$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.1

Divide cada término en $7 θ = \frac{5 π}{2}$ por $7$ .

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{5 π}{2}}{7}$

Paso 22.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{5 π}{2}}{7}$

Paso 22.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{7}$

Paso 22.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 22.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 7}$

Paso 22.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$θ = \frac{5 π}{14}$

Paso 23

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{7} = 128 i$ .

$u_{1} = 2 (\cos (\frac{5 π}{14}) + i \sin (\frac{5 π}{14}))$

Paso 24

Convierte la solución a forma rectangular.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.1.1

Evalúa $\cos (\frac{5 π}{14})$ .

$u_{1} = 2 (0.43388373 + i \sin (\frac{5 π}{14}))$

Paso 24.1.2

Evalúa $\sin (\frac{5 π}{14})$ .

$u_{1} = 2 (0.43388373 + i \cdot 0.90096886)$

Paso 24.1.3

Mueve $0.90096886$ a la izquierda de $i$ .

$u_{1} = 2 (0.43388373 + 0.90096886 i)$

Paso 24.2

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{1} = 2 \cdot 0.43388373 + 2 (0.90096886 i)$

Paso 24.2.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.2.1

Multiplica $2$ por $0.43388373$ .

$u_{1} = 0.86776747 + 2 (0.90096886 i)$

Paso 24.2.2.2

Multiplica $0.90096886$ por $2$ .

$u_{1} = 0.86776747 + 1.80193773 i$

Paso 25

Sustituye $z^{7}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{1} = 0 + 0.86776747 + 1.80193773 i$

Paso 26

Obtén el valor de $θ$ para $r = 2$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Paso 27

Resuelve la ecuación en $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Paso 27.1.2

Para escribir $4 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 27.1.3

Combina $4 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Paso 27.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Paso 27.1.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$7 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Paso 27.1.6

Suma $π$ y $8 π$ .

$7 θ = \frac{9 π}{2}$

Paso 27.2

Divide cada término en $7 θ = \frac{9 π}{2}$ por $7$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.1

Divide cada término en $7 θ = \frac{9 π}{2}$ por $7$ .

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{9 π}{2}}{7}$

Paso 27.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{9 π}{2}}{7}$

Paso 27.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{7}$

Paso 27.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 27.2.3.2

Multiplica $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 27.2.3.2.1

Multiplica $\frac{9 π}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 7}$

Paso 27.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$θ = \frac{9 π}{14}$

Paso 28

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{7} = 128 i$ .

$u_{2} = 2 (\cos (\frac{9 π}{14}) + i \sin (\frac{9 π}{14}))$

Paso 29

Convierte la solución a forma rectangular.

Toca para ver más pasos...

Paso 29.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 29.1.1

Evalúa $\cos (\frac{9 π}{14})$ .

$u_{2} = 2 (- 0.43388373 + i \sin (\frac{9 π}{14}))$

Paso 29.1.2

Evalúa $\sin (\frac{9 π}{14})$ .

$u_{2} = 2 (- 0.43388373 + i \cdot 0.90096886)$

Paso 29.1.3

Mueve $0.90096886$ a la izquierda de $i$ .

$u_{2} = 2 (- 0.43388373 + 0.90096886 i)$

Paso 29.2

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 29.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{2} = 2 \cdot - 0.43388373 + 2 (0.90096886 i)$

Paso 29.2.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 29.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 0.43388373$ .

$u_{2} = - 0.86776747 + 2 (0.90096886 i)$

Paso 29.2.2.2

Multiplica $0.90096886$ por $2$ .

$u_{2} = - 0.86776747 + 1.80193773 i$

Paso 30

Sustituye $z^{7}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{2} = 0 - 0.86776747 + 1.80193773 i$

Paso 31

Obtén el valor de $θ$ para $r = 3$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Paso 32

Resuelve la ecuación en $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 32.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 32.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Paso 32.1.2

Para escribir $6 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 32.1.3

Combina $6 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Paso 32.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Paso 32.1.5

Multiplica $2$ por $6$ .

$7 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Paso 32.1.6

Suma $π$ y $12 π$ .

$7 θ = \frac{13 π}{2}$

Paso 32.2

Divide cada término en $7 θ = \frac{13 π}{2}$ por $7$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.1

Divide cada término en $7 θ = \frac{13 π}{2}$ por $7$ .

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{13 π}{2}}{7}$

Paso 32.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{13 π}{2}}{7}$

Paso 32.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{7}$

Paso 32.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 32.2.3.2

Multiplica $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 32.2.3.2.1

Multiplica $\frac{13 π}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 7}$

Paso 32.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$θ = \frac{13 π}{14}$

Paso 33

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{7} = 128 i$ .

$u_{3} = 2 (\cos (\frac{13 π}{14}) + i \sin (\frac{13 π}{14}))$

Paso 34

Convierte la solución a forma rectangular.

Toca para ver más pasos...

Paso 34.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 34.1.1

Evalúa $\cos (\frac{13 π}{14})$ .

$u_{3} = 2 (- 0.97492791 + i \sin (\frac{13 π}{14}))$

Paso 34.1.2

Evalúa $\sin (\frac{13 π}{14})$ .

$u_{3} = 2 (- 0.97492791 + i \cdot 0.22252093)$

Paso 34.1.3

Mueve $0.22252093$ a la izquierda de $i$ .

$u_{3} = 2 (- 0.97492791 + 0.22252093 i)$

Paso 34.2

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 34.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{3} = 2 \cdot - 0.97492791 + 2 (0.22252093 i)$

Paso 34.2.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 34.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 0.97492791$ .

$u_{3} = - 1.94985582 + 2 (0.22252093 i)$

Paso 34.2.2.2

Multiplica $0.22252093$ por $2$ .

$u_{3} = - 1.94985582 + 0.44504186 i$

Paso 35

Sustituye $z^{7}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{3} = 0 - 1.94985582 + 0.44504186 i$

Paso 36

Obtén el valor de $θ$ para $r = 4$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π (4)$

Paso 37

Resuelve la ecuación en $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 37.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 37.1.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 8 π$

Paso 37.1.2

Para escribir $8 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 8 π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 37.1.3

Combina $8 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + \frac{8 π \cdot 2}{2}$

Paso 37.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 θ = \frac{π + 8 π \cdot 2}{2}$

Paso 37.1.5

Multiplica $2$ por $8$ .

$7 θ = \frac{π + 16 π}{2}$

Paso 37.1.6

Suma $π$ y $16 π$ .

$7 θ = \frac{17 π}{2}$

Paso 37.2

Divide cada término en $7 θ = \frac{17 π}{2}$ por $7$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.1

Divide cada término en $7 θ = \frac{17 π}{2}$ por $7$ .

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{17 π}{2}}{7}$

Paso 37.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{17 π}{2}}{7}$

Paso 37.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{17 π}{2}}{7}$

Paso 37.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{17 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 37.2.3.2

Multiplica $\frac{17 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 37.2.3.2.1

Multiplica $\frac{17 π}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$θ = \frac{17 π}{2 \cdot 7}$

Paso 37.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$θ = \frac{17 π}{14}$

Paso 38

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{7} = 128 i$ .

$u_{4} = 2 (\cos (\frac{17 π}{14}) + i \sin (\frac{17 π}{14}))$

Paso 39

Convierte la solución a forma rectangular.

Toca para ver más pasos...

Paso 39.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 39.1.1

Evalúa $\cos (\frac{17 π}{14})$ .

$u_{4} = 2 (- 0.78183148 + i \sin (\frac{17 π}{14}))$

Paso 39.1.2

Evalúa $\sin (\frac{17 π}{14})$ .

$u_{4} = 2 (- 0.78183148 + i \cdot - 0.6234898)$

Paso 39.1.3

Mueve $- 0.6234898$ a la izquierda de $i$ .

$u_{4} = 2 (- 0.78183148 - 0.6234898 i)$

Paso 39.2

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 39.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{4} = 2 \cdot - 0.78183148 + 2 (- 0.6234898 i)$

Paso 39.2.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 39.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 0.78183148$ .

$u_{4} = - 1.56366296 + 2 (- 0.6234898 i)$

Paso 39.2.2.2

Multiplica $- 0.6234898$ por $2$ .

$u_{4} = - 1.56366296 - 1.2469796 i$

Paso 40

Sustituye $z^{7}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{4} = 0 - 1.56366296 - 1.2469796 i$

Paso 41

Obtén el valor de $θ$ para $r = 5$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π (5)$

Paso 42

Resuelve la ecuación en $θ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 42.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 42.1.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 10 π$

Paso 42.1.2

Para escribir $10 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 10 π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 42.1.3

Combina $10 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + \frac{10 π \cdot 2}{2}$

Paso 42.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 θ = \frac{π + 10 π \cdot 2}{2}$

Paso 42.1.5

Multiplica $2$ por $10$ .

$7 θ = \frac{π + 20 π}{2}$

Paso 42.1.6

Suma $π$ y $20 π$ .

$7 θ = \frac{21 π}{2}$

Paso 42.2

Divide cada término en $7 θ = \frac{21 π}{2}$ por $7$ y simplifica.

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Paso 42.2.1

Divide cada término en $7 θ = \frac{21 π}{2}$ por $7$ .

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{21 π}{2}}{7}$

Paso 42.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 42.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 42.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{21 π}{2}}{7}$

Paso 42.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{21 π}{2}}{7}$

Paso 42.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 42.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{21 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 42.2.3.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 42.2.3.2.1

Factoriza $7$ de $21 π$ .

$θ = \frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 42.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \frac{7 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 42.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 43

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{7} = 128 i$ .

$u_{5} = 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 44

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 44.1

Simplifica cada término.

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Paso 44.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{5} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 44.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{5} = 2 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 44.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$u_{5} = 2 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 44.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{5} = 2 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Paso 44.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{5} = 2 (0 + i \cdot - 1)$

Paso 44.1.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $i$ .

$u_{5} = 2 (0 - 1 \cdot i)$

Paso 44.1.7

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$u_{5} = 2 (0 - i)$

Paso 44.2

Simplifica la expresión.

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Paso 44.2.1

Resta $i$ de $0$ .

$u_{5} = 2 (- i)$

Paso 44.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u_{5} = - 2 i$

Paso 45

Sustituye $z^{7}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{5} = 0 - 2 i$

Paso 46

Obtén el valor de $θ$ para $r = 6$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 2 π (6)$

Paso 47

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 47.1

Simplifica.

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Paso 47.1.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 12 π$

Paso 47.1.2

Para escribir $12 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + 12 π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 47.1.3

Combina $12 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 θ = \frac{π}{2} + \frac{12 π \cdot 2}{2}$

Paso 47.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 θ = \frac{π + 12 π \cdot 2}{2}$

Paso 47.1.5

Multiplica $2$ por $12$ .

$7 θ = \frac{π + 24 π}{2}$

Paso 47.1.6

Suma $π$ y $24 π$ .

$7 θ = \frac{25 π}{2}$

Paso 47.2

Divide cada término en $7 θ = \frac{25 π}{2}$ por $7$ y simplifica.

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Paso 47.2.1

Divide cada término en $7 θ = \frac{25 π}{2}$ por $7$ .

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{25 π}{2}}{7}$

Paso 47.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 47.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 47.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 θ}{7} = \frac{\frac{25 π}{2}}{7}$

Paso 47.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{25 π}{2}}{7}$

Paso 47.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 47.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{25 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Paso 47.2.3.2

Multiplica $\frac{25 π}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Paso 47.2.3.2.1

Multiplica $\frac{25 π}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$θ = \frac{25 π}{2 \cdot 7}$

Paso 47.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$θ = \frac{25 π}{14}$

Paso 48

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{7} = 128 i$ .

$u_{6} = 2 (\cos (\frac{25 π}{14}) + i \sin (\frac{25 π}{14}))$

Paso 49

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 49.1

Simplifica cada término.

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Paso 49.1.1

Evalúa $\cos (\frac{25 π}{14})$ .

$u_{6} = 2 (0.78183148 + i \sin (\frac{25 π}{14}))$

Paso 49.1.2

Evalúa $\sin (\frac{25 π}{14})$ .

$u_{6} = 2 (0.78183148 + i \cdot - 0.6234898)$

Paso 49.1.3

Mueve $- 0.6234898$ a la izquierda de $i$ .

$u_{6} = 2 (0.78183148 - 0.6234898 i)$

Paso 49.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 49.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u_{6} = 2 \cdot 0.78183148 + 2 (- 0.6234898 i)$

Paso 49.2.2

Multiplica.

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Paso 49.2.2.1

Multiplica $2$ por $0.78183148$ .

$u_{6} = 1.56366296 + 2 (- 0.6234898 i)$

Paso 49.2.2.2

Multiplica $- 0.6234898$ por $2$ .

$u_{6} = 1.56366296 - 1.2469796 i$

Paso 50

Sustituye $z^{7}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{6} = 0 + 1.56366296 - 1.2469796 i$

Paso 51

Estas son las soluciones complejas a $u^{7} = 128 i$ .

$z_{0} = 1.94985582 + 0.44504186 i$

$z_{1} = 0.86776747 + 1.80193773 i$

$z_{2} = - 0.86776747 + 1.80193773 i$

$z_{3} = - 1.94985582 + 0.44504186 i$

$z_{4} = - 1.56366296 - 1.2469796 i$

$z_{5} = - 2 i$

$z_{6} = 1.56366296 - 1.2469796 i$