Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 - \cos (x)$ .

$1 - \cos (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 - \cos (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 - \cos (x) = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = - 1$

Paso 2.3

Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.3.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Paso 2.4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 2.7

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 2.8

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.8.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.9

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.10

Consolida las respuestas.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x - \sin (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$(0) - \sin (0)$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 - 0$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 2 π$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $2 π$ por $x$ .

$(2 π) - \sin (2 π)$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 π - \sin (0)$

Paso 4.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 π - 0$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 π + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $2 π$ y $0$ .

$2 π$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 4 π$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $4 π$ por $x$ .

$(4 π) - \sin (4 π)$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$4 π - \sin (0)$

Paso 4.3.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 π - 0$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 π + 0$

Paso 4.3.2.2

Suma $4 π$ y $0$ .

$4 π$

Paso 4.4

Evalúa en $x = 6 π$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye $6 π$ por $x$ .

$(6 π) - \sin (6 π)$

Paso 4.4.2

Simplifica.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$6 π - \sin (0)$

Paso 4.4.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$6 π - 0$

Paso 4.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$6 π + 0$

Paso 4.4.2.2

Suma $6 π$ y $0$ .

$6 π$

Paso 4.5

Evalúa en $x = 8 π$ .

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Paso 4.5.1

Sustituye $8 π$ por $x$ .

$(8 π) - \sin (8 π)$

Paso 4.5.2

Simplifica.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$8 π - \sin (0)$

Paso 4.5.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$8 π - 0$

Paso 4.5.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$8 π + 0$

Paso 4.5.2.2

Suma $8 π$ y $0$ .

$8 π$

Paso 4.6

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (2 π, 2 π), (4 π, 4 π), (6 π, 6 π), (8 π, 8 π)$

Paso 5