Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = \frac{π x}{4}$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π x}{4}$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{π}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.2

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.2.1

Combina $\frac{π}{4}$ y $\sec (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.2.2

Combina $\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ y $\tan (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Paso 2.3.2

Establece $\sec (\frac{π x}{4})$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $\sec (\frac{π x}{4})$ igual a $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

Paso 2.3.2.2

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 2.3.3

Establece $\tan (\frac{π x}{4})$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $\tan (\frac{π x}{4})$ igual a $0$ .

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

Paso 2.3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Paso 2.3.3.2.3

Establece el numerador igual a cero.

$π x = 0$

Paso 2.3.3.2.4

Divide cada término en $π x = 0$ por $π$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.2.4.1

Divide cada término en $π x = 0$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Paso 2.3.3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.3.3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Paso 2.3.3.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Paso 2.3.3.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.4.3.1

Divide $0$ por $π$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3.2.5

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{π x}{4} = π + 0$

Paso 2.3.3.2.6

Resuelve $x$

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Paso 2.3.3.2.6.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Paso 2.3.3.2.6.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.3.3.2.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.6.2.1.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Paso 2.3.3.2.6.2.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Paso 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Paso 2.3.3.2.6.2.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Paso 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Paso 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

Paso 2.3.3.2.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.6.2.2.1

Simplifica $\frac{4}{π} (π + 0)$ .

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Paso 2.3.3.2.6.2.2.1.1

Suma $π$ y $0$ .

$x = \frac{4}{π} π$

Paso 2.3.3.2.6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{4}{π} π$

Paso 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = 4$

Paso 2.3.3.2.7

Obtén el período de $\tan (\frac{π x}{4})$ .

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Paso 2.3.3.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.3.3.2.7.2

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{4}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

Paso 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ es aproximadamente $0.78539816$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Paso 2.3.3.2.7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \frac{4}{π}$

Paso 2.3.3.2.7.5

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.3.3.2.7.5.1

Cancela el factor común.

$π \frac{4}{π}$

Paso 2.3.3.2.7.5.2

Reescribe la expresión.

$4$

Paso 2.3.3.2.8

El período de la función $\tan (\frac{π x}{4})$ es $4$ , por lo que los valores se repetirán cada $4$ radianes en ambas direcciones.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ verdadera.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.4

Consolida las respuestas.

$x = 4 n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\sec (\frac{π x}{4})$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.2.1

Simplifica $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.3

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.2.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.2.2.2.1.4.1

Factoriza $π$ de $π n$ .

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

Paso 3.2.2.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$x = 2 + 4 n$

Paso 3.2.3

Reordena $2$ y $4 n$ .

$x = 4 n + 2$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Evalúa $\sec (\frac{π x}{4})$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Factoriza $4$ de $π (0)$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

Paso 4.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Paso 4.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Paso 4.1.2.1.2.4

Divide $π \cdot (0)$ por $1$ .

$\sec (π \cdot (0))$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $π$ por $0$ .

$\sec (0)$

Paso 4.1.2.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $π$ por $1$ .

$\sec (π)$

Paso 4.2.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$- \sec (0)$

Paso 4.2.2.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5