Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Paso 1.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 1.1.4.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 1.1.4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Paso 1.1.4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - e^{- x})$

Paso 1.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{4} (- e^{- x})$

Paso 1.1.5.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} e^{x} - \frac{e^{- x}}{4}$

Paso 1.1.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$

Paso 2.2

Mueve $- \frac{e^{- x}}{4}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$\frac{e^{x}}{4} = \frac{e^{- x}}{4}$

Paso 2.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$e^{x} = e^{- x}$

Paso 2.4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = - x$

Paso 2.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x + x = 0$

Paso 2.5.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$2 x = 0$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{4}$

Paso 4.1.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

Paso 4.1.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{4}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Paso 4.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, \frac{1}{2})$

Paso 5