Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \sqrt{3 x - 27}$

Paso 1

Escribe $f (x) = - \sqrt{3 x - 27}$ como una ecuación.

$y = - \sqrt{3 x - 27}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - \sqrt{3 y - 27}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{3 y - 27} = x$ .

$- \sqrt{3 y - 27} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $- \sqrt{3 y - 27} = x$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- \sqrt{3 y - 27} = x$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3 y - 27}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sqrt{3 y - 27}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Paso 3.2.2.2

Divide $\sqrt{3 y - 27}$ por $1$ .

$\sqrt{3 y - 27} = \frac{x}{- 1}$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $3$ de $3 y - 27$ .

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Paso 3.2.2.3.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$\sqrt{3 (y) - 27} = \frac{x}{- 1}$

Paso 3.2.2.3.2

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$\sqrt{3 y + 3 \cdot - 9} = \frac{x}{- 1}$

Paso 3.2.2.3.3

Factoriza $3$ de $3 y + 3 \cdot - 9$ .

$\sqrt{3 (y - 9)} = \frac{x}{- 1}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{3 (y - 9)} = - 1 \cdot x$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$\sqrt{3 (y - 9)} = - x$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 (y - 9)}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 (y - 9)}$ como ${(3 (y - 9))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y - 9))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(3 (y - 9))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 (y - 9))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y - 9))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 (y - 9))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 (y - 9))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y + 3 \cdot - 9)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica.

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Paso 3.4.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $- 9$ .

${(3 y - 27)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.3.2

Simplifica.

$3 y - 27 = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(- x)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$3 y - 27 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Paso 3.4.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$3 y - 27 = 1 x^{2}$

Paso 3.4.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$3 y - 27 = x^{2}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = x^{2} + 27$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $3 y = x^{2} + 27$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $3 y = x^{2} + 27$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{27}{3}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{27}{3}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{27}{3}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Divide $27$ por $3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 9$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 9$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 9$ es la inversa de $f (x) = - \sqrt{3 x - 27}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{{(- \sqrt{3 x - 27})}^{2}}{3} + 9$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3 x - 27}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3 x - 27}}^{2}}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 {\sqrt{3 x - 27}}^{2}}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $3$ de $3 x - 27$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 {\sqrt{3 (x) - 27}}^{2}}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.3.2

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 {\sqrt{3 x + 3 \cdot - 9}}^{2}}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.3.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 9$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 {\sqrt{3 (x - 9)}}^{2}}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{3 (x - 9)}}^{2}$ como $3 (x - 9)$ .

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Paso 5.2.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 (x - 9)}$ como ${(3 (x - 9))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 {({(3 (x - 9))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 {(3 (x - 9))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 {(3 (x - 9))}^{\frac{2}{2}}}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 {(3 (x - 9))}^{\frac{2}{2}}}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 (3 (x - 9))}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 (3 (x - 9))}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 (3 x + 3 \cdot - 9)}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.6

Multiplica $3$ por $- 9$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{1 (3 x - 27)}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.7

Multiplica $3 x - 27$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{3 x - 27}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.8

Factoriza $3$ de $3 x - 27$ .

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Paso 5.2.3.1.8.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{3 (x) - 27}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.8.2

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{3 x + 3 \cdot - 9}{3} + 9$

Paso 5.2.3.1.8.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 9$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{3 (x - 9)}{3} + 9$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = \frac{3 (x - 9)}{3} + 9$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x - 9$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = x - 9 + 9$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 9 + 9$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{3 x - 27}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{3} + 9)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 9) - 27}$

Paso 5.3.3

Factoriza $3$ de $3 (\frac{x^{2}}{3} + 9) - 27$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 9) + 3 \cdot - 9}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $3$ de $3 (\frac{x^{2}}{3} + 9) + 3 \cdot - 9$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 9 - 9)}$

Paso 5.3.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.4.1

Resta $9$ de $9$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Paso 5.3.4.2

Suma $\frac{x^{2}}{3}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Paso 5.3.5

Combina $3$ y $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Paso 5.3.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1

Reduce la expresión $\frac{3 x^{2}}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Paso 5.3.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Paso 5.3.6.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 9) = - x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 9$ es la inversa de $f (x) = - \sqrt{3 x - 27}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 9$