Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$ como una ecuación.

$y = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 1 + \sqrt{2 + 4 y}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $1 + \sqrt{2 + 4 y} = x$ .

$1 + \sqrt{2 + 4 y} = x$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 + 4 y} = x - 1$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 + 4 y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + 4 y}$ como ${(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 + 4 y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$2 + 4 y = {(x - 1)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 + 4 y = (x - 1) (x - 1)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 + 4 y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 + 4 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 + 4 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 + 4 y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$2 + 4 y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 + 4 y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 + 4 y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 + 4 y = x^{2} - x - x + 1$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$2 + 4 y = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y = x^{2} - 2 x + 1 - 2$

Paso 3.5.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 y = x^{2} - 2 x - 1$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $4 y = x^{2} - 2 x - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $4 y = x^{2} - 2 x - 1$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{4} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2 (2)} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{4}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$ es la inversa de $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 + 4 x})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 + 4 x$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 (1) + 4 x})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 (1) + 2 (2 x)})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe ${(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.3

Expande $(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}) + \sqrt{2 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + 1 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.2

Multiplica $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.3

Multiplica $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.4

Multiplica $\sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}$ .

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Paso 5.2.3.4.1.4.1

Eleva $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.4.2

Eleva $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {\sqrt{2 (1 + 2 x)}}^{1 + 1}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {\sqrt{2 (1 + 2 x)}}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.5

Reescribe ${\sqrt{2 (1 + 2 x)}}^{2}$ como $2 (1 + 2 x)$ .

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Paso 5.2.3.4.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ como ${(2 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {({(2 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {(2 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {(2 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.4.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {(2 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 (1 + 2 x)}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.5.5

Simplifica.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 (1 + 2 x)}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 \cdot 1 + 2 (2 x)}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 + 2 (2 x)}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.4.3

Suma $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ y $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.5

Factoriza $2$ de $2 + 4 x$ .

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Paso 5.2.3.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 (1) + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.5.2

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 (1) + 2 (2 x)}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3.5.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2} - \frac{1}{4}$

Paso 5.2.4

Combina fracciones.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x - 1}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.4.2.1

Resta $1$ de $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Reordena $1$ y $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)} + 4 x}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.4.2.3

Mueve $2 \sqrt{2 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 + 4 x + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.4.2.4

Reordena $2$ y $4 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{4 x + 2 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común de $4 x + 2 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}$ y $4$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x) + 2 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.5.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1) + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.5.1.4

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1) + 2 (\sqrt{2 (2 x + 1)})}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.5.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x + 1) + 2 (\sqrt{2 (2 x + 1)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)})}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.5.1.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)})}{2 (2)} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.5.1.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)})}{2 \cdot 2} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.5.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)}}{2} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)}}{2} - \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Paso 5.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Paso 5.2.7

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - 1 \cdot 1 - \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - 1 - \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Paso 5.2.8

Combina los términos opuestos en $2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - 1 - \sqrt{2 (1 + 2 x)}$ .

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Paso 5.2.8.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 0 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Paso 5.2.8.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + \sqrt{2 (2 x + 1)} - \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Paso 5.2.9

Resta $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ de $\sqrt{2 (2 x + 1)}$ .

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Paso 5.2.9.1

Reordena $1$ y $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + \sqrt{2 (2 x + 1)} - \sqrt{2 (2 x + 1)}}{2}$

Paso 5.2.9.2

Resta $\sqrt{2 (2 x + 1)}$ de $\sqrt{2 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.11.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.11.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 + 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 + 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1) + 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})}$

Paso 5.3.3.1.2

Factoriza $2$ de $4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1) + 2 (2 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}))}$

Paso 5.3.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (2 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}))$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}))}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{4}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica.

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Paso 5.3.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 (2)}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Paso 5.3.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Paso 5.3.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2}$ al numerador.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Paso 5.3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Paso 5.3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Paso 5.3.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + 2 (\frac{- 1}{4}))}$

Paso 5.3.3.3.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + 2 (\frac{- 1}{2 (2)}))}$

Paso 5.3.3.3.3.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 2}))}$

Paso 5.3.3.3.3.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{- 1}{2})}$

Paso 5.3.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2})}$

Paso 5.3.3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}$

Paso 5.3.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{2 - 1}{2})}$

Paso 5.3.3.7

Resta $1$ de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{1}{2})}$

Paso 5.3.3.8

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}$

Paso 5.3.3.9

Combina $- x$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}$

Paso 5.3.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}$

Paso 5.3.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - x \cdot 2 + 1}{2})}$

Paso 5.3.3.12

Reordena los factores en $x^{2} - x \cdot 2 + 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1}{2})}$

Paso 5.3.3.13

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.3.13.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1^{2}}{2})}$

Paso 5.3.3.13.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$1 \cdot 2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 5.3.3.13.3

Reescribe el polinomio.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{2})}$

Paso 5.3.3.13.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{{(x - 1)}^{2}}{2})}$

Paso 5.3.3.14

Combina $2$ y $\frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{2}}$

Paso 5.3.3.15

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.3.15.1

Reduce la expresión $\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.3.15.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{2}}$

Paso 5.3.3.15.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{1}}$

Paso 5.3.3.15.2

Divide ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3.16

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + x - 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$ es la inversa de $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$