Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.3.1

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3.2.2.5

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Paso 1.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

Paso 2.2

Resta $x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$

Paso 2.3

Divide cada término en $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ por $4 x^{3}$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ por $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Paso 2.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Paso 2.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{1}{4}$

Paso 2.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{4}}$

Paso 2.5

Reescribe $\ln (x) = - \frac{1}{4}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4}} = x$

Paso 2.6

Resuelve $x$

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Paso 2.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{1}{4}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{4}}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 4.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$

Paso 6

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.3894004$ en la expresión.

$f' (0.3894004) = {(0.3894004)}^{3} + 4 {(0.3894004)}^{3} \ln (0.3894004)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.3894004$ a la potencia de $3$ .

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + 4 {(0.3894004)}^{3} \ln (0.3894004)$

Paso 7.2.1.2

Eleva $0.3894004$ a la potencia de $3$ .

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + 4 \cdot (0.05904582 \ln (0.3894004))$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $4$ por $0.05904582$ .

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + 0.23618329 \ln (0.3894004)$

Paso 7.2.1.4

Simplifica $0.23618329 \ln (0.3894004)$ al mover $0.23618329$ dentro del algoritmo.

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + \ln ({0.3894004}^{0.23618329})$

Paso 7.2.1.5

Eleva $0.3894004$ a la potencia de $0.23618329$ .

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + \ln (0.80031042)$

Paso 7.2.2

Suma $0.05904582$ y $\ln (0.80031042)$ .

$f' (0.3894004) = - 0.16370977$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 0.16370977$ .

$- 0.16370977$

Paso 7.3

En $x = 0.3894004$ la derivada es $- 0.16370977$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.7788008$ en la expresión.

$f' (1.7788008) = {(1.7788008)}^{3} + 4 {(1.7788008)}^{3} \ln (1.7788008)$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $1.7788008$ a la potencia de $3$ .

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + 4 {(1.7788008)}^{3} \ln (1.7788008)$

Paso 9.2.1.2

Eleva $1.7788008$ a la potencia de $3$ .

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + 4 \cdot (5.62836104 \ln (1.7788008))$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $4$ por $5.62836104$ .

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + 22.51344416 \ln (1.7788008)$

Paso 9.2.1.4

Simplifica $22.51344416 \ln (1.7788008)$ al mover $22.51344416$ dentro del algoritmo.

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + \ln ({1.7788008}^{22.51344416})$

Paso 9.2.1.5

Eleva $1.7788008$ a la potencia de $22.51344416$ .

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + \ln (427786.78620072)$

Paso 9.2.2

Suma $5.62836104$ y $\ln (427786.78620072)$ .

$f' (1.7788008) = 18.59474122$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $18.59474122$ .

$18.59474122$

Paso 9.3

En $x = 1.7788008$ la derivada es $18.59474122$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Paso 11