Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$ y $g (x) = x^{2} - 16$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 12] - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 7 x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Suma $2 x - 7$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 (x^{2} - 7 x + 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) + (- 2 x^{2} - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Expande $(x^{2} - 16) (2 x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x - 7) - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2.3

Mueve $- 7$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 \cdot x^{2} - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2.4

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2.5

Multiplica $- 16$ por $- 7$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 (x \cdot x)) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.5

Multiplica $- 7$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x$ .

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Paso 1.1.3.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 0 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2.2

Suma $- 7 x^{2} - 32 x + 112$ y $0$ .

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.3

Suma $- 7 x^{2}$ y $14 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 32 x + 112 - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.4

Resta $24 x$ de $- 32 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.4.1

Factoriza $7$ de $7 x^{2} - 56 x + 112$ .

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Paso 1.1.3.4.1.1

Factoriza $7$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{7 (x^{2}) - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.2

Factoriza $7$ de $- 56 x$ .

$\frac{7 (x^{2}) + 7 (- 8 x) + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.3

Factoriza $7$ de $112$ .

$\frac{7 x^{2} + 7 (- 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.4

Factoriza $7$ de $7 x^{2} + 7 (- 8 x)$ .

$\frac{7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.5

Factoriza $7$ de $7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16$ .

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.3.4.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 1.1.3.4.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{7 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.3.5.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Cancela el factor común de ${(x - 4)}^{2}$ .

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Paso 1.1.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$7 = 0$

Paso 2.3

Como $7 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $- 5$ y $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

Paso 6.2.2

Divide $7$ por $1$ .

$f' (- 5) = 7$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 6.3

En $x = - 5$ la derivada es $7$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 4)$ .

Incremento en $(- \infty, - 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Suma $- 3$ y $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $7$ por $1$ .

$f' (- 3) = 7$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 7.3

En $x = - 3$ la derivada es $7$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 4, \infty)$ .

Incremento en $(- 4, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

Paso 9