Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(3 x - 7)}^{2}$ como $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x - 7) (3 x - 7)]$

Paso 1.1.2

Expande $(3 x - 7) (3 x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)]$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)]$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 1.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 1.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 1.1.3.1.4

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Paso 1.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7]$

Paso 1.1.3.1.6

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49]$

Paso 1.1.3.2

Resta $21 x$ de $- 21 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 42 x + 49]$

Paso 1.1.4

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} - 42 x + 49$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.1.5

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.1.7

Multiplica $2$ por $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.1.8

Como $- 42$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 42 x$ con respecto a $x$ es $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$18 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.1.10

Multiplica $- 42$ por $1$ .

$18 x - 42 + \frac{d}{d x} [49]$

Paso 1.1.11

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 x - 42 + 0$

Paso 1.1.12

Suma $18 x - 42$ y $0$ .

$f' (x) = 18 x - 42$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $18 x - 42$ .

$18 x - 42$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $18 x - 42 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$18 x - 42 = 0$

Paso 2.2

Suma $42$ a ambos lados de la ecuación.

$18 x = 42$

Paso 2.3

Divide cada término en $18 x = 42$ por $18$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $18 x = 42$ por $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{42}{18}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $42$ y $18$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $6$ de $42$ .

$x = \frac{6 (7)}{18}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{7}{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3}$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 18 x - 42$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{7}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4}{3}$ en la expresión.

$f' (\frac{4}{3}) = 18 (\frac{4}{3}) - 42$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 3 (6) (\frac{4}{3}) - 42$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{4}{3})) - 42$

Paso 5.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{4}{3}) = 6 \cdot 4 - 42$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 24 - 42$

Paso 5.2.2

Resta $42$ de $24$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 18$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 18$ .

$- 18$

Paso 5.3

En $x = \frac{4}{3}$ la derivada es $- 18$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, \frac{7}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{7}{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{7}{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{10}{3}$ en la expresión.

$f' (\frac{10}{3}) = 18 (\frac{10}{3}) - 42$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (6) (\frac{10}{3}) - 42$

Paso 6.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{10}{3})) - 42$

Paso 6.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{10}{3}) = 6 \cdot 10 - 42$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $6$ por $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 60 - 42$

Paso 6.2.2

Resta $42$ de $60$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 18$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $18$ .

$18$

Paso 6.3

En $x = \frac{10}{3}$ la derivada es $18$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{7}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{7}{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{7}{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, \frac{7}{3})$

Paso 8