Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 {(x^{2} - 75)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 {(x^{2} - 75)}^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 75)}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 75)}^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 75$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 75$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 75$ .

$3 (2 (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 ((x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 75$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75]$ .

$6 (x^{2} - 75) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (x^{2} - 75) (2 x + \frac{d}{d x} [- 75])$

Paso 1.1.3.4

Como $- 75$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 75$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (x^{2} - 75) (2 x + 0)$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$6 (x^{2} - 75) (2 x)$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 (x^{2} - 75) x$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(12 x^{2} + 12 \cdot - 75) x$

Paso 1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$12 x^{2} x + 12 \cdot - 75 x$

Paso 1.1.4.3

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 (x^{1} x^{2}) + 12 \cdot - 75 x$

Paso 1.1.4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 x^{1 + 2} + 12 \cdot - 75 x$

Paso 1.1.4.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$12 x^{3} + 12 \cdot - 75 x$

Paso 1.1.4.3.4

Multiplica $12$ por $- 75$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 900 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{3} - 900 x$ .

$12 x^{3} - 900 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{3} - 900 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{3} - 900 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3} - 900 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 900 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $12 x$ de $- 900 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 75) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 75)$ .

$12 x (x^{2} - 75) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 75 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 75$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 75$ igual a $0$ .

$x^{2} - 75 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 75 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $75$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 75$

Paso 2.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{75}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{75}$ .

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Paso 2.5.2.3.1

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.3.1.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Paso 2.5.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5 \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (x^{2} - 75) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$ .

$0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9.6602545$ en la expresión.

$f' (- 9.6602545) = 12 {(- 9.6602545)}^{3} - 900 \cdot - 9.6602545$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 9.6602545$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 9.6602545) = 12 \cdot - 901.49994433 - 900 \cdot - 9.6602545$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $- 901.49994433$ .

$f' (- 9.6602545) = - 10817.99933205 - 900 \cdot - 9.6602545$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 900$ por $- 9.6602545$ .

$f' (- 9.6602545) = - 10817.99933205 + 8694.22905$

Paso 5.2.2

Suma $- 10817.99933205$ y $8694.22905$ .

$f' (- 9.6602545) = - 2123.77028205$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 2123.77028205$ .

$- 2123.77028205$

Paso 5.3

En $x = - 9.6602545$ la derivada es $- 2123.77028205$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 8.6602545, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4.33012725$ en la expresión.

$f' (- 4.33012725) = 12 {(- 4.33012725)}^{3} - 900 \cdot - 4.33012725$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 4.33012725$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 4.33012725) = 12 \cdot - 81.1898946 - 900 \cdot - 4.33012725$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $- 81.1898946$ .

$f' (- 4.33012725) = - 974.27873523 - 900 \cdot - 4.33012725$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 900$ por $- 4.33012725$ .

$f' (- 4.33012725) = - 974.27873523 + 3897.114525$

Paso 6.2.2

Suma $- 974.27873523$ y $3897.114525$ .

$f' (- 4.33012725) = 2922.83578976$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2922.83578976$ .

$2922.83578976$

Paso 6.3

En $x = - 4.33012725$ la derivada es $2922.83578976$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 8.6602545, 0)$ .

Incremento en $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 5 \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.33012725$ en la expresión.

$f' (4.33012725) = 12 {(4.33012725)}^{3} - 900 \cdot 4.33012725$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $4.33012725$ a la potencia de $3$ .

$f' (4.33012725) = 12 \cdot 81.1898946 - 900 \cdot 4.33012725$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $81.1898946$ .

$f' (4.33012725) = 974.27873523 - 900 \cdot 4.33012725$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 900$ por $4.33012725$ .

$f' (4.33012725) = 974.27873523 - 3897.114525$

Paso 7.2.2

Resta $3897.114525$ de $974.27873523$ .

$f' (4.33012725) = - 2922.83578976$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 2922.83578976$ .

$- 2922.83578976$

Paso 7.3

En $x = 4.33012725$ la derivada es $- 2922.83578976$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 5 \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(0, 5 \sqrt{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(5 \sqrt{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $9.6602545$ en la expresión.

$f' (9.6602545) = 12 {(9.6602545)}^{3} - 900 \cdot 9.6602545$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $9.6602545$ a la potencia de $3$ .

$f' (9.6602545) = 12 \cdot 901.49994433 - 900 \cdot 9.6602545$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $12$ por $901.49994433$ .

$f' (9.6602545) = 10817.99933205 - 900 \cdot 9.6602545$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 900$ por $9.6602545$ .

$f' (9.6602545) = 10817.99933205 - 8694.22905$

Paso 8.2.2

Resta $8694.22905$ de $10817.99933205$ .

$f' (9.6602545) = 2123.77028205$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $2123.77028205$ .

$2123.77028205$

Paso 8.3

En $x = 9.6602545$ la derivada es $2123.77028205$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(5 \sqrt{3}, \infty)$ .

Incremento en $(5 \sqrt{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 5 \sqrt{3}, 0), (5 \sqrt{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 5 \sqrt{3}), (0, 5 \sqrt{3})$

Paso 10