Cálculo Ejemplos

$x = e^{t} - 9$ , $y = e^{2 t}$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = e^{t} - 9$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $e^{t} - 9 = x$ .

$e^{t} - 9 = x$

Paso 3

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{t} = x + 9$

Paso 4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{t}) = \ln (x + 9)$

Paso 5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Expande $\ln (e^{t})$ ; para ello, mueve $t$ fuera del logaritmo.

$t \ln (e) = \ln (x + 9)$

Paso 5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$t \cdot 1 = \ln (x + 9)$

Paso 5.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$t = \ln (x + 9)$

Paso 6

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = e^{2 (\ln (x + 9))}$

Paso 7

Simplifica $e^{2 (\ln (x + 9))}$ .

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Paso 7.1

Simplifica $2 (\ln (x + 9))$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y = e^{\ln ({(x + 9)}^{2})}$

Paso 7.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$y = {(x + 9)}^{2}$

Paso 7.3

Reescribe ${(x + 9)}^{2}$ como $(x + 9) (x + 9)$ .

$y = (x + 9) (x + 9)$

Paso 7.4

Expande $(x + 9) (x + 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x + 9) + 9 (x + 9)$

Paso 7.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 9 + 9 (x + 9)$

Paso 7.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 9 + 9 x + 9 \cdot 9$

Paso 7.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 9 + 9 x + 9 \cdot 9$

Paso 7.5.1.2

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{2} + 9 \cdot x + 9 x + 9 \cdot 9$

Paso 7.5.1.3

Multiplica $9$ por $9$ .

$y = x^{2} + 9 x + 9 x + 81$

Paso 7.5.2

Suma $9 x$ y $9 x$ .

$y = x^{2} + 18 x + 81$