Cálculo Ejemplos

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$ , $y = \cos (\frac{1}{2} t)$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $\sin (\frac{1}{2} t) = x$ .

$\sin (\frac{1}{2} t) = x$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de seno.

$\frac{1}{2} t = \arcsin (x)$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t$ .

$\frac{t}{2} = \arcsin (x)$

Paso 5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Paso 6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$t = 2 \arcsin (x)$

Paso 7

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Paso 8

Elimina los paréntesis.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Paso 9

Simplifica $\cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$ .

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Paso 9.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 \arcsin (x)$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (x))))$

Paso 9.1.1.2

Cancela el factor común.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Paso 9.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y = \cos (\arcsin (x))$

Paso 9.1.2

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 9.1.2.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (x))$ es $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Paso 9.1.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Paso 9.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$